Question

如图，△ABC中，AC＝BC，∠A＝30°,AB＝． 现将一块三角板中30°角的顶点D放在AB边上移动，使这个 30°角的两边分别与△ABC的边AC，BC相交于点E, F，连结DE，DF，EF，且使DE始终与AB垂直．设，△DEF的面积为．

（1）画出符合条件的图形，写出与△ADE一定相似的三角形（不包括此三角板），并说明理由；

（2）问EF与AB可能平行吗？若能，请求出此时AD的长；若不能，请说明理由；

（3）求出与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围．当为何值时，有最大值？最大值是为多少？

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Answer 1

解：（1）图形举例

△ADE∽△BFD，             

∵ DE⊥AB，∠EDF=30°，  ∴∠FDB=60°，

∵ ∠A=∠B，∠AED=∠FDB，            

∴ △ADE∽△BFD．                     

（2）EF可以平行于AB，       

此时，在直角△ADE中，DE=，

在直角△DEF中，EF=，      

在直角△DBF中，  ∵  BD=，  ∴  DF=，   

而DF=2EF，    ∴=，

∴．              

（3），即，，

当时，_最大=．