分析 (1)连接OC,由PC是⊙O的切线,得到∠1+∠PCA=90°,由AB是⊙O的直径,得到∠2+∠B=90°,于是得到结论;
(2)根据已知条件求出AO的值,分三种情况讨论当∠AOQ=∠AOC=50°时,当∠BOQ=∠AOC=50°时,当∠BOQ=50°时,即∠AOQ=230°时,再根据弧长公式即可得出答案.
解答 解:(1)如图1:连接OC,
∵PC是⊙O的切线,
∴∠PCO=90°,
∴∠1+∠PCA=90°,
∵AB是⊙O的直径,
∴∠ACB=90°,
∴∠2+∠B=90°,
∵OC=OA,
∴∠1=∠2,
∴∠PCA=∠B;
(2)∵∠P=40°,
∴∠AOC=50°,
∵AB=12,
∴AO=6,
当∠AOQ=∠AOC=50°时,△ABQ与△ABC的面积相等,
∴点Q所经过的弧长=$\frac{50π×6}{180}$=$\frac{5π}{3}$,
当∠BOQ=∠AOC=50°时,即∠AOQ=130°时,△ABQ与△ABC的面积相等,
∴点Q所经过的弧长=$\frac{130π•6}{180}$=$\frac{13π}{3}$,
当∠BOQ=50°时,即∠AOQ=230°时,△ABQ与△ABC的面积相等,
∴点Q所经过的弧长=$\frac{230π•6}{180}$=$\frac{23π}{3}$,
∴当△ABQ与△ABC的面积相等时,动点Q所经过的弧长为$\frac{5π}{3}$或$\frac{13π}{3}$或$\frac{23π}{3}$;
点评 本题考查了切线的性质,弦切角定理,弧长的求法,熟练掌握定理和计算公式是解题的关键.
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