Question

【题目】（新定义）：A、B、C 为数轴上三点，若点 C 到 A 的距离是点 C 到 B 的距离的 3 倍，我们就称点

C 是（A，B）的幸运点．

（特例感知）：

（1）如图 1，点 A 表示的数为﹣1，点 B 表示的数为 3．表示 2 的点 C 到点 A 的距离是 3， 到点 B 的距离是 1，那么点 C 是（A，B）的幸运点．

①（B，A）的幸运点表示的数是 ；A．﹣1； B.0； C.1； D.2

②试说明 A 是（C，E）的幸运点．

（2）如图 2，M、N 为数轴上两点，点 M 所表示的数为﹣2，点 N 所表示的数为 4，则（M，N）的幸点示的数为 ．

（拓展应用）：

（3）如图 3，A、B 为数轴上两点，点 A 所表示的数为﹣20，点 B 所表示的数为 40．现有一只电子蚂蚁 P 从点 B 出发，以 3 个单位每秒的速度向左运动，到达点 A 停止．当 t 为何值时，P、A 和 B 三个点中恰好有一个点为其余两点的幸运点？

Answer 1

【答案】（1）①B，②见详解；（2）7或2.5；（3）t为5秒，15秒，秒，秒.

【解析】

（1）①由题意可知，点0到B是到A点距离的3倍；②由数轴可知，AC=3，AE=1，可得AC=3AE；
（2）设【M，N】的幸运点为P，T表示的数为p，由题意可得|p+2|=3|p-4|，求解即可；
（3）由题意可得，BP=3t，AP=60-3t，分四种情况讨论：①当P是【A，B】的幸运点时，PA=3PB②当P是【B，A】的幸运点时，PB=3PA③当A是【B，P】的幸运点时，AB=3PA，④当B是【A，P】的幸运点时，AB=3PB．

解：（1）①由题意可知，点0到B是到A点距离的3倍，
即EA=1，EB=3，
故选B．
②由数轴可知，AC=3，AE=1，
∴AC=3AE，
∴A是【C，E】的幸运点．
（2）设【M，N】的幸运点为P，T表示的数为p，
∴PM=3PN，
∴|p+2|=3|p-4|，
∴p+2=3（p-4）或p+2=-3（p-4），
∴p=7或p=2.5；
故答案为7或2.5；
（3）由题意可得，BP=3t，AP=60-3t，
①当P是【A，B】的幸运点时，PA=3PB，
∴60-3t=3×3t，
∴t=5；
②当P是【B，A】的幸运点时，PB=3PA，
∴3t=3×（60-3t），
∴t=15；
③当A是【B，P】的幸运点时，AB=3PA，
∴60=3（60-3t）
∴t= ；
④当B是【A，P】的幸运点时，AB=3PB，
∴60=3×3t，
∴t=；
∴t为5秒，15秒，秒，秒时，P、A、B中恰好有一个点为其余两点的幸运点．