分析 过点E作EA⊥x轴于点A,过点P作PB⊥x轴于点B,由点E在反比例函数图象上得出k=12,设点P的坐标为(n,$\frac{12}{n}$),通过分割图形求出△OEP的面积,再根据面积公式表示出△OEP的面积,由此即可得出关于n的一元四次方程,结合函数图象解方程即可得出结论.
解答 解:过点E作EA⊥x轴于点A,过点P作PB⊥x轴于点B,如图所示.
∵点E(3,4)在函数y=$\frac{k}{x}$的图象上,
∴k=3×4=12,
∴设点P的坐标为(n,$\frac{12}{n}$),则点A(3,0),点B(n,0),
S四边形OBPE=S△OAE+S梯形PBAE=$\frac{1}{2}$|k|+$\frac{1}{2}$(PB+EA)•AB=6+$\frac{1}{2}$($\frac{12}{n}$+4)(n-3)=2n-$\frac{18}{n}$+6.
S△OEP=S四边形OBPE-S△OBP=2n-$\frac{18}{n}$+6-$\frac{1}{2}$|k|=2n-$\frac{18}{n}$.
由两点间的距离公式可知:
OE=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5,OP=$\sqrt{{n}^{2}+(\frac{12}{n})^{2}}$,
S△OEP=$\frac{1}{2}$OE•OP•sin∠EOP=$\frac{5\sqrt{2}}{4}$$\sqrt{{n}^{2}+(\frac{12}{n})^{2}}$=2n-$\frac{18}{n}$,
即7n4-576n2-1008=0,
解得:n2=84或n2=-84(舍去),
∴n1=2$\sqrt{21}$,n2=-2$\sqrt{21}$(舍去).
∴点P的坐标为(2$\sqrt{21}$,$\frac{6\sqrt{21}}{21}$).
故答案为:(2$\sqrt{21}$,$\frac{6\sqrt{21}}{21}$).
点评 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征以及解一元高次方程,解题的关键是得出关于n的一元四次方程.本题属于中档题,难道不大,但较繁琐,解决该题型题目时,根据三角形面积的不同求法得出关于n的一元高次方程是关键.
科目:初中数学 来源: 题型:选择题
A. | $\sqrt{2}$+$\sqrt{5}$ | B. | $\sqrt{2}$+$\sqrt{6}$ | C. | 4 | D. | 3$\sqrt{2}$ |
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科目:初中数学 来源: 题型:解答题
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科目:初中数学 来源: 题型:填空题
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