Question

如图：△ABC是等边三角形
（1）若AD=BE=CF，求证△DEF是等边三角形．
（2）请问（1）的逆命题成立吗？若成立，请证明，若不成立，请用反例说明?

Answer 1

（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠B=∠C=60°，AC=AB=BC，
∵AD=BE=CF，
∴AC-CF=BC-BE=AB-AD，
∴EC=AF=BD，
∴在△ADF，△BED，△CFE中，
，
∴△ADF≌△BED≌△CFE（SAS），
∴DF=DE=EF，
∴△DEF是等边三角形，

（2）解：（1）的逆命题成立，
已知：△DEF是等边三角形，求证：AD=BE=CF．
证明：∵△DEF是等边三角形，
∴∠EDF=∠EFD=∠DEF=60°，DF=EF=DE，
∵等边三角形ABC，
∴∠A=∠B=∠C=60°，
∴∠ADF+∠AFD=120°，∠ADF+∠BDE=120°，∠BDE+∠DEB=120°，∠AFD+∠EFC=120°，
∴∠ADF=∠DEB=∠EFC，
在△ADF，△BED，△CFE中，
∵，
∴△ADF≌△BED≌△CFE（AAS），
∴AD=BE=CF．
分析：（1）根据等量减去等量，结果仍相等的原则，可推出AF=CE=BD，然后依据等边三角形的性质，即可推出△ADF≌△BED≌△CFE，即得DF=DE=EF，即可推出△DEF是等边三角形，（2）（1）的逆命题仍然成立，首先根据补角的性质和三角形内角和定理即可推出∠ADF=∠DEB=∠EFC，然后根据等边三角形的性质，运用全等三角形的判定定理AAS，即可推出△ADF≌△BED≌△CFE，即得结论．
点评：本题主要考查等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、命题的证明，关键在于利用补角的性质和三角形的内角和定理，推出∠ADF=∠DEB=∠EFC，熟练运用相关的性质定理推出相等的角，相等的边，求证相关三角形全等．