Question

如图，∠ECF=90°，线段AB的端点分别在CE和CF上，BD平分∠CBA，并与∠CAB的外角平分线AG所在的直线交于一点D，
（1）∠D与∠C有怎样的数量关系？（直接写出关系及大小）
（2）点A在射线CE上运动，（不与点C重合）时，其它条件不变，（1）中结论还成立吗？说说你的理由．

Answer 1

解：（1）∠C=2∠D 即：∠D=45°，
∵BD平分∠CBA，AG平分∠EAB，
∴∠EAB=2∠GAB，∠ABC=2∠DBA，
∵∠CAB=180°-2∠GAB，∠BAC+∠ABC=90°，即180°-2∠GAB+2∠DBA=90°，
整理得出∠GAB-∠DBA=45°，
∴∠D=∠C=45°；

（2）当A在射线CE上运动（不与点C重合）时，其它条件不变，（1）中结论还成立，∵∠CAB+∠ABC=∠C=90°，不论A在CE上如何运动，只要不与C点重合，这个关系式都是不变的，
整理这个式子：∠CAB=180°-2∠GAB，∠ABC=2∠DBA，得：180°-2∠GAB+2∠DBA=90°，
整理得∠GAB-∠DBA=45度，恒定不变，即：∠D=45°的结论不变，
∴∠C=2∠D恒成立．
分析：（1）根据角平分线的性质、外角的性质、三角形内角和定理整理即可得出答案；
（2）根据（1）中结论即可推理得出答案．
点评：本题主要考查了角平分线的性质、外角的性质、三角形内角和定理，比较综合，难度较大．