Question

【题目】如图，矩形ABCD中，∠ACB=30°，将一块直角三角板的直角顶点P放在两对角线AC，BD的交点处，以点P为旋转中心转动三角板，并保证三角板的两直角边分别与边AB，BC所在的直线相交，交点分别为E，F．

（1）当PE⊥AB，PF⊥BC时，如图1，则的值为　　；

（2）在（1）的基础上，现将三角板绕点P逆时针旋转（0°＜＜60°）角，如图2，求的值；

（3）若与（2）相比只有如下变化，点P在线段AC上，且AP:PC=1:2,旋转角度，满足60°＜＜90°时，即如图3示，的值是否变化？证明你的结论．

Answer 1

【答案】（1） （2） （3）见解析

【解析】

（1）证明△APE≌△PCF，得PE=CF；在Rt△PCF中，解直角三角形求得的值；

（2）如答图1所示，作辅助线，构造直角三角形，证明△PME∽△PNF，并利用（1）的结论，求得的值；

（3）如答图2所示，作辅助线，构造直角三角形，首先证明△APM∽△PCN，求得的值；然后证明△PME∽△PNF，从而由=求得的值．与（1）（2）问相比较，

的值发生了变化．

解：(1)∵矩形ABCD，

∴AB⊥BC，PA=PC，

∵PE⊥AB，BC⊥AB，

∴PE∥BC，

∴∠APE=∠PCF，

∵PF⊥BC，AB⊥BC，

∴PF∥AB，

∴∠PAE=∠CPF．

∵在△APE与△PCF中，

∴△APE≌△PCF（ASA），

∴PE=CF．

在Rt△PCF中，，

∴.

故答案为：

(2) 如答图1，过点P作PM⊥AB于点M，PN⊥BC于点N，则PM⊥PN，

∵PM⊥PN，PE⊥PF，

∴∠EPM=∠FPN，

又∵∠PME=∠PNF=90°，

∴△PME∽△PNF

=

由(1)知

∴

故答案为：.

(3)答：变化，理由如下：

证明：如答图2，过点P作PM⊥AB于点M，PN⊥BC于点N，则PM⊥PN，PM∥BC，PN∥AB，

∵PM∥BC，PN∥AB，

∴∠APM=∠PCN，∠PAM=∠CPN，

∴△APM∽△PCN，

，得到CN=2PM

在Rt△PCN中，

∴

∵PM⊥PN，PE⊥PF，

∴∠EPM=∠FPN，

又∵∠PME=∠PNF=90°，

∴△PME∽△PNF，

∴

∴的值发生变化.