Question

【题目】如图，抛物线y＝x2+bx+c经过A （0，3），B （4，3）两点，与x轴交于点E，F，以AB为边作矩形ABCD，其中CD边经过抛物线的项点M，点P是抛物线上一动点（点P不与点A，B重合），过点P作y轴的平行线1与直线AB交于点G，与直线BD交于点H，连接AF交直线BD于点N．

（1）求该抛物线的解析式以及顶点M的坐标；

（2）当线段PH＝2GH时，求点P的坐标；

（3）在抛物线上是否存在点P，使得以点P，E，N，F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2﹣4x+3，顶点M的坐标为（2，﹣1）；（2）点P的坐标为（﹣1，8）或（3，0）；（3）存在点P（2，﹣1）时，使得以点P，E，N，F为顶点的四边形是平行四边形．

【解析】

（1）根据抛物线y＝x2+bx+c经过A（0，3），B（4，3）两点，可以求得该抛物线的解析式，然后化为顶点式，即可得到顶点M的坐标；

（2）根据题意，可以表示出线段PH和GH的长，然后即可得到点P的坐标；

（3）根据题意，画出相应的图象，然后利用分类讨论的方法即可得到点P的坐标．

解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c经过A（0，3），B（4，3）两点，

∴ 得，

即该抛物线的解析式为y＝x2﹣4x+3，

∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，

∴顶点M的坐标为（2，﹣1）；

（2）∵四边形ABCD是矩形，且CD边经过抛物线的顶点M（2，﹣1），

∴D（0，﹣1），

设直线BD的解析式为y＝kx+b，

∵直线BD经过点B（4，3），D（0，﹣1），

∴ ，

解得，，

∴直线BD的解析式为y＝x﹣1，

∵点P为是抛物线上一动点，

∴设P（a，a2﹣4a+3），则G（a，3），H（a，a﹣1），

∴PH＝|a2﹣4a+3﹣（a﹣1）|＝|a2﹣5a+4|，GH＝|3﹣（a﹣1）|＝|4﹣a|，

∵PH＝2GH，

∴|a2﹣5a+4|＝2|4﹣a|，

解得，a1＝﹣1，a2＝3，a3＝4，

∴P1（﹣1，8），P2（3，0），P3（4，3），

∵点P不与点A，B重合

∴P3（4，3）不符合要求，

∴当线段PH＝2GH时，点P的坐标为P（﹣1，8）或P（3，0）；

（3）当y＝0时，0＝x2﹣4x+3，得x1＝3，x2＝1，

则点E的坐标为（1，0），点F的坐标为（3，0），

∵A（0，3），F（3，0），

∴直线AF的解析式为y＝﹣x+3，

联立，得 ，

∴N（2，1），

如图1所示，当点P在直线EF下方时，

∵M（2，﹣1），N（2，1），E（1，0），F（3，0），

∴MN与EF互相垂直平分，

∴当点P在点M的位置时，四边形PENF是平行四边形，

此时P（2，﹣1）；

如图2所示，当点P在点E的左侧时，

若四边形PEFN是平行四边形，则P（0，1），

∵抛物线经过点A（0，3），

∴P（0，1）不符合实际，舍去；

如图3所示，当点P在点F的右侧时，

若四边形PFEN是平行四边形，则P（4，1），

∵抛物线经过点B（4，3），

∴P（4，1）不符合实际，舍去；

综上所述，存在点P（2，﹣1）时，使得以点P，E，N，F为顶点的四边形是平行四边形．