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【题目】在△ABC中,∠ACB是锐角,点D在射线BC上运动,连接AD,将线段AD绕点A逆时针旋转90°,得到AE,连接EC.

(1)操作发现:若AB=AC,∠BAC=90°,当D在线段BC上时(不与点B重合),如图①所示,请你直接写出线段CE和BD的位置关系和数量关系是__________

(2)猜想论证:

在(1)的条件下,当D在线段BC的延长线上时,如图②所示,请你判断(1)中结论是否成立,并证明你的判断.

(3)拓展延伸:

如图③,若AB≠AC,∠BAC≠90°,点D在线段BC上运动,试探究:当锐角∠ACB等于_____度时,线段CE和BD之间的位置关系仍成立(点C、E重合除外)?此时若作DF⊥AD交线段CE于点F,且当AC=3时,请直接写出线段CF的长的最大值是_____

【答案】 CE=BD,CE⊥BD CE=BD,CE⊥BD 45°,.

【解析】解:(1)①∵AB=AC,∠BAC=90°,

∴线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE,

∴AD=AE,∠BAD=∠CAE,

∴△BAD≌△CAE,

∴CE=BD,∠ACE=∠B,

∴∠BCE=∠BCA+∠ACE=90°,

∴线段CE,BD之间的位置关系和数量关系为:CE=BD,CE⊥BD;

故答案为:CE=BD,CE⊥BD;

(2)(1)中的结论仍然成立.理由如下:如图2,

∵线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE,

∴AE=AD,∠DAE=90°,

∵AB=AC,∠BAC=90°

∴∠CAE=∠BAD,

∴△ACE≌△ABD,

∴CE=BD,∠ACE=∠B,

∴∠BCE=90°,

所以线段CE,BD之间的位置关系和数量关系为:CE=BD,CE⊥BD;

(3)

过A作AM⊥BC于M,过E点作EN垂直于MA延长线于N,如图3,

∵线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE,

∴∠DAE=90°,AD=AE,

∴∠NAE=∠ADM,易证得Rt△AMD≌Rt△ENA,

∴NE=AM,

∵CE⊥BD,即CE⊥MC,∴∠NEC=90°,

∴四边形MCEN为矩形,

∴NE=MC,∴AM=MC,

∴∠ACB=45°,

∵四边形MCEN为矩形,

∴Rt△AMD∽Rt△DCF,

,设DC=x,

∵在Rt△AMC中,∠ACB=45°,AC=3

∴AM=CM=3,MD=3﹣x,∴

∴CF=﹣x2+x=﹣(x﹣2+

∴当x=时有最大值,最大值为

故答案为:45°,

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