Question

在△ABC中，D是射线BC上一动点（点D与C不重合），以AD为边向右侧作等边△ADE（点C与点E不重合）连接CE，
（1）若△ABC为等边三角形，当点D在线段BC上是（如图①），则∠BCE=

 

．
（2）若△ABC为等边三角形，当点D在线段BC的延长线上时（如图②），∠BCE为多少度？请证明．
（3）若△ABC不是等边三角形，BC＞AC，∠ACB=60°（如图③）试探索当点D在线段BC上时，∠BCE的度数，说明理由．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等边三角形的性质

专题：

分析：（1）根据△ABC为等边三角形，等边△ADE，得出△ABD≌△ACE，进而得出∠B=∠ACE=60°，则∠BCE=∠ACB+∠ACE=120°；
（2）根据△ABC与△ADE都是等边三角形，得出△BAD≌△CAE，进而得出∠B=∠ACE=60°，则∠BCE=∠ACB+∠ACE=120°；
（3）分别根据当CD＜AC时，当CD=AC时，当CD＞AC时，分别分析得出答案．

解答：解：（1）如图①，若△ABC为等边三角形，当点D在线段BC上时．
∵△ABC、△ADE均为等边三角形，
∴AB=AC，∠B=∠ACB=60°，AE=AD．
∵∠BAD=60°-∠DAC，∠CAE=60°-∠DAC，
∴∠BAD=∠CAE，
在△ABD与△ACE中，

AB=AC ∠BAD=∠CAE AD=AE

，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠B=∠ACE=60°，
∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=120°，即∠BCE=120°；
 故答案是：120°；

（2）∠BCE=120°．理由如下：
如图②，若△ABC为等边三角形，当点D在线段BC的延长线上时．
∵△ABC、△ADE均为等边三角形，
∴AB=AC，∠B=∠ACB=60°，AE=AD．
∵∠BAD=60°+∠DAC，∠CAE=60°+∠DAC，
∴∠BAD=∠CAE，
在△ABD与△ACE中，

AB=AC ∠BAD=∠CAE AD=AE

，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠B=∠ACE=60°，
∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=120°，即∠BCE=120°；

（3）∠BCE=120°或∠BCE=60°．理由如下：
若△ABC不是等边三角形，BC＞AC，∠ACB=60°，当点D在线段BC上时．
①如图③，当CD＜AC时，在CB上截取一点G，使得CG=CA，连接AG．
∵∠ACB=60°，
∴△GAC是等边三角形，
∴AC=AG，∠AGC=∠GAC=60°，
∵△ADE是等边三角形，
∴AE=AD，∠DAE=60°，
∴∠DAE-∠CAD=∠GAC-∠CAD，
从而∠CAE=∠GAD，
在△ACE与△AGD中，

AC=AG ∠CAE=∠GAD AE=AD

，
∴△ACE≌△AGD（SAS），
∴∠ACE=∠AGD=60°，
∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=120°，即∠BCE=120°；
②当CD=AC时，点C与点E重合，不符合题意．
③如图④，当CD＞AC时，延长EC到H，在CB上截取一点G，使得CG=CA，连接AG．
同（1）可证△ACE≌△AGD．
∴∠ACE=∠AGD=180°-∠AGC=120°，
∴∠BCE=∠ACE-∠ACB=120°-60°=60°，即∠BCE=60°．

点评：此题主要考查了全等三角形的判定与性质，根据已知进行分类讨论当CD＜AC时，当CD=AC时，当CD＞AC时得出答案是解题关键．