Question

【题目】如果一条抛物线与x轴的两个交点为A，B（点A在点B的左侧，顶点为P，连接PA，PB，那么称PAB为这条抛物线的“抛物线三角形”。

（1）请写出“抛物线三角形”是等腰直角三角形时，抛物线的表达式（写出一个即可）；

（2）若抛物线的“抛物线三角形”是等边三角形，求b的值；

（3）若抛物线不存在“抛物线三角形”则a，b，c之间应满足怎样的关系式？请直接写出关系式。

Answer 1

【答案】（1）“抛物线三角形”是等腰直角三角形时，抛物线的表达式可以为（答案不唯一）；（2）；（3）.

【解析】

（1）利用等腰直角三角形的性质可知P点的纵坐标为AB的一半，据此可设出P、A、B的坐标，可写出抛物线的表达式；
（2）过点P作PH⊥AB于H，由等边三角形的性质可得到PH= AH，再用b表示出P点坐标，则可得到关于b的方程，可求得b的值；
（3）由条件可知P、A、B三点不能构成三角形，则可知A、B重合或没有A、B两点，即抛物线与x轴有一个或没有交点，则可得到a、b、c的关系．

（1）不妨设抛物线的对称轴为轴，即设抛物线解析式为，

则，，，

∵为等腰直角三角形，

∴，即，解得.

∴“抛物线三角形”是等腰直角三角形时，抛物线的表达式可以为；

（2）如图，过点作于，

∵是等边三角形，

∴，

∵抛物线的顶点坐标为，

∴，解得；

（3）当抛物线不存在“抛物线三角形”，

则，，三点不能构成三角形，即抛物线与轴有一个或没有交点，

∴方程有两个相等的实数根或没有实数根，

∴.