Question

二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象如图所示，根据图象解答下列问题：
（1）写出方程ax²+bx+c=0的两个根；
（2）写出不等式ax²+bx+c＞0的解集；
（3）写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围；
（4）若方程ax²+bx+c=k有两个不相等的实数根，求k的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）看二次函数与x轴交点的横坐标即可；
（2）看x轴上方的二次函数的图象相对应的x的范围即可；
（3）在对称轴的右侧即为y随x的增大而减小；
（4）得到相对应的函数看是怎么平移得到的即可．
解答：解：（1）由图可知，抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）与x轴交于（1，0）、（3，0）两点．∴x₁=1，x₂=3；

（2）依题意因为ax²+bx+c＞0，得出x的取值范围为1＜x＜3；（2分）

（3）如图可知，当y随x的增大而减小，自变量x的取值范围为x＞2；（2分）

（4）由顶点（2，2）设方程为a（x-2）²+2=0，
∵二次函数与x轴的2个交点为（1，0），（3，0），
代入a（x-2）²+2=0得：a（1-2）²+2=0，
∴a=-2，
∴抛物线方程为y=-2（x-2）²+2，
y=-2（x-2）²+2-k实际上是原抛物线下移或上移|k|个单位．由图象知，当2-k＞0时，抛物线与x轴有两个交点．
故k＜2．（4分）
点评：本题考查的是二次函数的图象与实际应用的综合题；采用数形结合的方法可使问题简化．