Question

【题目】如图，把△EFP按图示方式放置在菱形ABCD中，使得顶点E、F、P分别在线段AB、AD、AC上，已知EP=FP=4，EF=4 ， ∠BAD=60°，且AB＞4 ．

（1）求∠EPF的大小。
（2）若AP=6，求AE+AF的值。
（3）若△EFP的三个顶点E、F、P分别在线段AB、AD、AC上运动，请直接写出AP长的最大值和最小值

Answer 1

【答案】
（1）

解：如图1，

过点P作PG⊥EF于G，

∵PE=PF，

∴FG=EG=EF=2，∠FPG=∠EPG=∠EPF，

在△FPG中，sin∠FPG===，

∴∠FPG=60°，

∴∠EPF=2∠FPG=120°

（2）

解：如图2，过点P作PM⊥AB于M，PN⊥AD于N，

∵四边形ABCD是菱形，

∴AD=AB，DC=BC，

在△ABC与△ADC中，

∴△ABC≌△ADC，

∴∠DAC=∠BAC，

∴PM=PN，

在Rt△PME于Rt△PNF中，

∴Rt△PME≌Rt△PNF，

∴FN=EM，在Rt△PMA中，∠PMA=90°，∠PAM=∠DAB=30°，∴AM=APcos30°=3，同理AN=3，

∴AE+AF=（AM﹣EM）+（AN+NF）=6；

（3）

解：如图3，当EF⊥AC，点P在EF的右侧时，AP有最大值，

当EF⊥AC，点P在EF的左侧时，AP有最小值，

设AC与EF交于点O，

∵PE=PF，

∴OF=EF=2，

∵∠FPA=60°，

∴OP=2，

∵∠BAD=60°，

∴∠FAO=30°，

∴AO=6，

∴AP=AO+PO=8，

同理AP′=AO﹣OP=4，

∴AP的最大值是8，最小值是4．

【解析】（1）过点P作PG⊥EF于G，解直角三角形即可得到结论；
（2）如图2，过点P作PM⊥AB于M，PN⊥AD于N，证明△ABC≌△ADC，Rt△PME≌Rt△PNF，问题即可得证；
（3）如图3，当EF⊥AC，点P在EF的右侧时，AP有最大值，当EF⊥AC，点P在EF的左侧时，AP有最小值解直角三角形即可解决问题．
【考点精析】本题主要考查了平行四边形的判定与性质的相关知识点，需要掌握若一直线过平行四边形两对角线的交点，则这条直线被一组对边截下的线段以对角线的交点为中点，并且这两条直线二等分此平行四边形的面积才能正确解答此题．