Question

若2⁴⁸-1可以被大于60小于70之间的两个数整除，求这两个数．
[变式]81⁷-27⁹-9¹³必能被45整除吗？试说明理由．

Answer 1

2⁴⁸-1=（2²⁴+1）（2²⁴-1），
=（2²⁴+1）（2¹²+1）（2¹²-1），
=（2²⁴+1）（2¹²+1）（2⁶+1）（2⁶-1）；
∵2⁶=64，
∴2⁶-1=63，2⁶+1=65，
∴这两个数是65、63．

81⁷-27⁹-9¹³，
=3²⁸-3²⁷-3²⁶，
=3²⁴（3⁴-3³-3²），
=3²⁴×45，
∴81⁷-27⁹-9¹³必能被45整除．