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如图,BC是⊙O的直径,点A在圆上,且AB=AC=4. P为AB上一点,过P作PE⊥AB分别交BC、OA于E、F.
(1)设AP=1,求△OEF的面积;
(2)设AP=a(0<a<2),△APF、△OEF的面积分别记为S1、S2
①若S1=S2,求a的值;
②若S=S1+S2,是否存在一个实数a,使S<?若存在,求出一个a的值;若不存在,说明理由.

【答案】分析:(1)易知△AOC、△OEF、△AFP均为等腰直角三角形,因此只需求出OF的长就可得出△OEF的面积,在直角三角形AFP中,根据AP=1,可求得AF=,已知了AB、AC的长可求出OA的长,进而可得出OF的长.也就能求出△OEF的面积.
(2)①同(1)可用a表示出△OEF的面积,S2=a2,然后根据S1=S2,可得出关于a的方程,即可求出a的值.
②根据①即可得出关于S,a的函数关系式,然后根据函数的性质即可判断出是否存在使S<的值.
解答:解:(1)∵BC是⊙O的直径,
∴∠BAC=90°,
∵AB=AC
∴∠B=∠C=45°,OA⊥BC,
∴∠1=∠B=45°,
∵PE⊥AB
∴∠2=∠1=45°
∴∠4=∠3=45°,
则△APF、△OEF与△OAB均为等腰直角三角形.
∵AP=l,AB=4,
∴AF=,OA=
∴OE=OF=
∴△OEF的面积为•OE•OF=1.

(2)①∵FP=AP=a,
∴S1=a2
且AF=
∴OE=OF=2-a=(2-a),
∴S2=•OE•OF=(2-a)2
∵S1=S2
a2=(2-a)2
∴a=4±
∵0<a<2

②S=S1+S2=a2+(2-a)2=a2-4a+4=(a-2+
∴当时,S取得最小值为

∴不存在这样实数a,使S<
点评:本题考查了等腰直角三角形的性质、图形面积的求法及二次函数的应用,综合性强.
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