Question

1．如图，已知二次函数y=ax²+$\frac{3}{2}$x+c（a≠0）的图象与y轴交于点A（0，4），与x轴交于点B、C，点C坐标为（8，0），连接AB、AC．
（1）求二次函数的解析式；
（2）判断△ABC的形状，并说明理由；
（3）若点H在x轴上运动，当以点A、H、C为顶点的三角形是等腰三角形时，请直接写出此时点H的坐标；
（4）若点N在线段BC上运动（不与点B、C重合），过点N作NM∥AC，交AB于点M，当△AMN面积最大时，求此时点N的坐标．

Answer 1

分析 （1）将A、C两点的坐标代入y=ax²+$\frac{3}{2}$x+c，得到关于a、c的二元一次方程组，解方程组求出a、c的值，即可求得抛物线的解析式；
（2）先根据二次函数的解析式求出点B的坐标，再计算得出AB²+AC²=BC²，根据勾股定理的逆定理即可得出△ABC是直角三角形；
（3）设点H的坐标为（n，0），得出AC²=80，AH²=n²+16，HC²=（n-8）²=n²-16n+64．当以点A、H、C为顶点的三角形是等腰三角形时，分三种情况进行讨论：①AH=AC；②HC=AC；③AH=HC；分别列出关于n的方程，解方程即可；
（4）设点N的坐标为（t，0），那么BN=t+2，过M作MD⊥x轴于点D．根据平行线分线段成比例定理得出$\frac{BM}{BA}$=$\frac{MD}{AO}$=$\frac{BN}{BC}$，求出MD=$\frac{2}{5}$（t+2），再根据S_△AMN=S_△ABN-S_△BMN，得出S_△AMN=-$\frac{1}{5}$（t-3）²+5，根据二次函数的性质即可求解．

解答 解：（1）∵二次函数y=ax²+$\frac{3}{2}$x+c（a≠0）的图象过点A（0，4），C（8，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{c=4}\\{64a+12+c=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{4}}\\{c=4}\end{array}\right.$，
∴二次函数的解析式为y=-$\frac{1}{4}$x²+$\frac{3}{2}$x+4；

（2）△ABC是直角三角形，理由如下：
∵y=-$\frac{1}{4}$x²+$\frac{3}{2}$x+4，
∴当y=0时，-$\frac{1}{4}$x²+$\frac{3}{2}$x+4=0，
解得x₁=8，x₂=-2，
∴点B的坐标为（-2，0）．
在Rt△AOB中，AB²=OA²+OB²=4²+2²=20，
在Rt△AOC中，AC²=OA²+OC²=4²+8²=80，
∵BC=OB+OC=2+8=10，
∴在△ABC中，AB²+AC²=20+80=100=10²=BC²，
∴△ABC是直角三角形；

（3）设点H的坐标为（n，0），则AC²=80，AH²=n²+16，HC²=（n-8）²=n²-16n+64．
当以点A、H、C为顶点的三角形是等腰三角形时，可分三种情况：
①如果AH=AC，那么n²+16=80，解得n=±8（正值舍去），
此时点H的坐标为（-8，0）；
②如果HC=AC，那么（n-8）²=80，解得n=8±4$\sqrt{5}$，
此时点H的坐标为（8+4$\sqrt{5}$，0）或（8-4$\sqrt{5}$，0）；
③如果AH=HC，那么n²+16=n²-16n+64，解得n=3，
此时点H的坐标为（3，0）；
综上所述，若点H在x轴上运动，当以点A、H、C为顶点的三角形是等腰三角形时，点H的坐标分别为（-8，0）、（8-4$\sqrt{5}$，0）、（3，0）、（8+4$\sqrt{5}$，0）；

（4）设点N的坐标为（t，0），则BN=t+2，过M作MD⊥x轴于点D．
∵MD∥OA，
∴△BMD∽△BAO，
∴$\frac{BM}{BA}$=$\frac{MD}{AO}$，
∵NM∥AC，
∴$\frac{BM}{BA}$=$\frac{BN}{BC}$，
∴$\frac{MD}{AO}$=$\frac{BN}{BC}$，
∵AO=4，BC=10，BN=t+2，
∴MD=$\frac{2}{5}$（t+2），
∴S_△AMN=S_△ABN-S_△BMN
=$\frac{1}{2}$BN•OA-$\frac{1}{2}$BN•MD
=$\frac{1}{2}$×（t+2）×4-$\frac{1}{2}$×（t+2）×$\frac{2}{5}$（t+2）
=-$\frac{1}{5}$t²+$\frac{6}{5}$t+$\frac{16}{5}$
=-$\frac{1}{5}$（t-3）²+5，
∴当t=3时，△AMN面积最大，此时点N的坐标为（3，0）．

点评 本题是二次函数的综合题，考查了利用待定系数法求抛物线的解析式，勾股定理及其逆定理，等腰三角形的性质，平行线分线段成比例定理，三角形的面积，二次函数的性质等知识，综合性较强，难度适中．利用数形结合、分类讨论以及方程思想是解题的关键．