Question

5．如图，△ABC内接于⊙O，AB=AC，CO的延长线交AB于点D

（1）求证：AO平分∠BAC；
（2）若BC=6，sin∠BAC=$\frac{3}{5}$，求AC和CD的长．

Answer 1

分析 （1）延长AO交BC于H，连接BO，证明A、O在线段BC的垂直平分线上，得出AO⊥BC，再由等腰三角形的性质即可得出结论；
（2）延长CD交⊙O于E，连接BE，则CE是⊙O的直径，由圆周角定理得出∠EBC=90°，∠E=∠BAC，得出sinE=sin∠BAC，求出CE=$\frac{5}{3}$BC=10，由勾股定理求出BE=8，证出BE∥OA，得出$\frac{OA}{BE}=\frac{OD}{DE}$，求出OD=$\frac{25}{13}$，得出CD═$\frac{90}{13}$，而BE∥OA，由三角形中位线定理得出OH=$\frac{1}{2}$BE=4，CH=$\frac{1}{2}$BC=3，在Rt△ACH中，由勾股定理求出AC的长即可．

解答 （1）证明：延长AO交BC于H，连接BO，如图1所示：
∵AB=AC，OB=OC，
∴A、O在线段BC的垂直平分线上，
∴AO⊥BC，
又∵AB=AC，
∴AO平分∠BAC；
（2）解：延长CD交⊙O于E，连接BE，如图2所示：
则CE是⊙O的直径，
∴∠EBC=90°，BC⊥BE，
∵∠E=∠BAC，
∴sinE=sin∠BAC，
∴$\frac{BC}{CE}$=$\frac{3}{5}$，
∴CE=$\frac{5}{3}$BC=10，
∴BE=$\sqrt{C{E}^{2}-B{C}^{2}}$=8，OA=OE=$\frac{1}{2}$CE=5，
∵AH⊥BC，
∴BE∥OA，
∴$\frac{OA}{BE}=\frac{OD}{DE}$，即$\frac{5}{8}$=$\frac{OD}{5-OD}$，
解得：OD=$\frac{25}{13}$，
∴CD=5+$\frac{25}{13}$=$\frac{90}{13}$，
∵BE∥OA，即BE∥OH，OC=OE，
∴OH是△CEB的中位线，
∴OH=$\frac{1}{2}$BE=4，CH=$\frac{1}{2}$BC=3，
∴AH=5+4=9，
在Rt△ACH中，AC=$\sqrt{A{H}^{2}+C{H}^{2}}$=$\sqrt{{9}^{2}+{3}^{2}}$=3$\sqrt{10}$．

点评 本题考查了等腰三角形的判定与性质、圆周角定理、勾股定理、平行线分线段成比例定理、三角形中位线定理、三角函数等知识；本题综合性强，有一定难度．