分析 (1)由点A在直线上可求出a,从而得出点A的坐标,由点A的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出k值;
(2)联立直线与双曲线的解析式成方程组,解方程组即可求出点B的坐标;
(3)根据函数图象的上下位置关系结合交点坐标即可得出结论;
(4)设点P的坐标为(m,0),由两点间的距离公式求出AP、AB、BP,分AP、AB、BP为斜边来考虑,根据勾股定理得出关于m的方,解方程即可得出结论.
解答 解:(1)∵点A(a,4)在直线y1=x+2上,
∴4=a+2,解得:a=2,
∴点A(2,4).
∵点A(2,4)在双曲线y2=$\frac{k}{x}$上,
∴k=2×4=8.
(2)联立直线与双曲线解析式成方程组得:$\left\{\begin{array}{l}{y=x+2}\\{y=\frac{8}{x}}\end{array}\right.$,
解得:$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=-4}\\{{y}_{1}=-2}\end{array}\right.$,$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=2}\\{{y}_{2}=4}\end{array}\right.$,
∴点B(-4,-2).
(3)观察函数图象,发现:
当-4<x<0或x>2时,直线在双曲线的上方,
∴当y1>y2时x的取值范围为-4<x<0或x>2.
(4)设点P的坐标为(m,0),
则AB=$\sqrt{(-4-2)^{2}+(-2-4)^{2}}$=6$\sqrt{2}$,AP=$\sqrt{(m-2)^{2}+(0-4)^{2}}$,BP=$\sqrt{(-4-m)^{2}+(-2-0)^{2}}$,
△ABP为直角三角形分三种情况:
①AB为斜边时(图1),有AB2=AP2+BP2,即72=(m-2)2+16+(m+4)2+4,
解得:m1=-1-$\sqrt{17}$,m2=-1+$\sqrt{17}$,
此时点P坐标为(-1-$\sqrt{17}$,0)或(-1+$\sqrt{17}$,0);
②AP为斜边时(图2),有AP2=AB2+BP2,即(m-2)2+16=72+(m+4)2+4,
解得:m3=-6,
此时点P坐标为(-6,0);
③BP为斜边时(图3),有BP2=AB2+AP2,即(m+4)2+4=72+(m-2)2+16,
解得:m4=6,
此时点P坐标为(6,0).
综上可知:当△ABP为直角三角形时,P点坐标为(-1-$\sqrt{17}$,0)、(-1+$\sqrt{17}$,0)、(-6,0)或(6,0).
点评 本题考查了反比例函数与一次函数交点的问题、反比例函数图象上点的坐标特征以及勾股定理,解题的关键是:(1)求出点A的坐标;(2)联立两函数解析式成方程组;(3)根据函数图象的上下位置关系解不等式;(4)分三种情况考虑.本题属于中档题,难度不大,但解题过程较繁琐,该题的难点是分类讨论,根据直角三角形的斜边不同,分别根据勾股定理找出关于m的方程是关键.
科目:初中数学 来源: 题型:选择题
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