Question

如图，在菱形ABCD中，∠B=60°，AB=4，点E在BC上，BE=3EC，点F在DE上，满足：∠AFC=120°，EF＞EC，则DF=

 

．

Answer 1

考点：菱形的性质

专题：

分析：作AO⊥BC于O，以BC为X轴，AO为Y轴建立直角坐标系，可得E（1，0），D（4，2

3

），G（0，

2 3

3

），根据待定系数法得到EF的解析式，设F（a，

2 3

3

a-

2 3

3

），根据两点间的距离公式得到关于a的方程，进一步得到F（

16

7

，

6

7

3

），再根据两点间的距离公式即可求解．

解答：解：如图，作AO⊥BC于O，以BC为X轴，AO为Y轴建立直角坐标系，不难得出
E（1，0），D（4，2

3

），G（0，

2 3

3

）
∴EF的解析式：y=

2 3

3

x-

2 3

3

，
设F（a，

2 3

3

a-

2 3

3

）
显然，点F在以G为圆心，AG为半径的圆上，
∴GF=GA=

4

3

3

，
∴GF²=a²+（

2 3

3

a-

2 3

3

-

2 3

3

）²=（

4

3

3

）²
∴a=0（舍去）或a=

16

7

，
∴F（

16

7

，

6

7

3

）
∴DF²=（4-

16

7

）²+（2

3

-

6

7

3

）²=

48

7

，
∴DF=

48 7

=

4

7

21

．
故答案为：

4

7

21

．

点评：考查了菱形的性质，涉及到直角坐标系，待定系数法得到直线的解析式，两点间的距离公式，方程思想，综合性较强，有一定的难度．