Question

【题目】已知，如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm，点P由B出发沿BA方向向点A匀速运动，速度为1cm/s，点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，速度为2cm/s，连接PQ，若设运动的时间为t（s）（0＜t＜2），解答下列问题：

（1）设△AQP的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式；

（2）是否存在某一时刻t，使线段PQ恰好把Rt△ACB的周长和面积同时平分？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣t2+3t．（2）不存在这一时刻t，使线段PQ把Rt△ACB的周长和面积同时平分．

【解析】

试题分析：（1）求三角形APQ的面积就要先确定底边和高的值，底边AQ可以根据Q的速度和时间t表示出来．关键是高，可以用AP和∠A的正弦值来求．AP的长可以用AB﹣BP求得，而sinA就是BC：AB的值，因此表示出AQ和AQ边上的高后，就可以得出y与t的函数关系式．

（2）如果将三角形ABC的周长和面积平分，那么AP+AQ=BP+BC+CQ，那么可以用t表示出CQ，AQ，AP，BP的长，那么可以求出此时t的值，我们可将t的值代入（1）的面积与t的关系式中，求出此时面积是多少，然后看看面积是否是三角形ABC面积的一半，从而判断出是否存在这一时刻．

解：（1）过点P作PH⊥AC于H．

∵△APH∽△ABC，

∴=，

∴=，

∴PH=3﹣t，

∴y=×AQ×PH=×2t×（3﹣t）=﹣t2+3t．

（2）不存在．

理由：∵若PQ把△ABC周长平分，

∴AP+AQ=BP+BC+CQ．

∴（5﹣t）+2t=t+3+（4﹣2t），解得t=1．

若PQ把△ABC面积平分，则S△APQ=S△ABC，﹣t2+3t=3．

∵t=1代入上面方程不成立，

∴不存在这一时刻t，使线段PQ把Rt△ACB的周长和面积同时平分．