Question

2．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=-$\frac{2}{9}$x²+bx+c与x轴交与点A（-3，0），点B（9，0），与y轴交与点C，顶点为D，连接AD、DB，点P为线段AD上一动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）过点P作BD的平行线，交AB于点Q，连接DQ，设AQ=m，△PDQ的面积为S，求S关于m的函数解析式，以及S的最大值；
（3）如图2，抛物线对称轴与x轴交与点G，E为OG的中点，F为点C关于DG对称的对称点，过点P分别作直线EF、DG的垂线，垂足为M、N，连接MN，当△PMN为等腰三角形时，求此时EM的长．

Answer 1

分析 （1）可以假设抛物线解析式为y=-$\frac{2}{9}$（x+3）（x-9），展开化简即可．
（2）作PH⊥AQ于H，则AH=HQ=$\frac{m}{2}$（如图1中），根据S=S_△ADQ-S_△APQ构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题．
（3）分三种情形讨论①PM=PN，②NP=NM，③MN=MP，分别求出直线PM的解析式，利用方程组求出点M坐标即可解决问题．

解答 解：（1）∵a=-$\frac{2}{9}$，抛物线与x轴交与点A（-3，0），点B（9，0），
∴可以假设抛物线解析式为y=-$\frac{2}{9}$（x+3）（x-9）=-$\frac{2}{9}$x²+$\frac{4}{3}$x+6，
∴抛物线解析式为y=-$\frac{2}{9}$x²+$\frac{4}{3}$x+6，

（2）∵y=-$\frac{2}{9}$x²+$\frac{4}{3}$x+6=-$\frac{2}{9}$（x-3）²+8，
∴顶点D坐标（3，8），
∵AD=DB=10，
∴∠DAB=∠DBA，
∵PQ∥BD，
∴∠PQA=∠DBA，
∴∠PAQ=∠PQA，
∴PA=PQ，
∴△PAQ为等腰三角形，
作PH⊥AQ于H，则AH=HQ=$\frac{m}{2}$（如图1中），
∴tan∠DAB=$\frac{PH}{AH}$=$\frac{8}{6}$，
∴PH=$\frac{2}{3}$m，
∴S=S_△ADQ-S_△APQ=$\frac{1}{2}$•m•8-$\frac{1}{2}$•m•$\frac{2}{3}$m=-$\frac{1}{3}$m²+4m=-$\frac{1}{3}$（m-6）²+12，
∴当m=6时，S_最大值=12．

（3）∵E（$\frac{3}{2}$，0），F（6，6），
∴直线EF解析式为y=$\frac{4}{3}$x-2，直线AD解析式为y=$\frac{4}{3}$x+4，
∴EF∥AD，作EL⊥AD于L，（如图2中）
∵AE=$\frac{9}{2}$，sin∠DAB=$\frac{4}{5}$，
∴LE=$\frac{9}{2}$×$\frac{4}{5}$=$\frac{18}{5}$=PM，
①PM=PN=$\frac{18}{5}$时，
∴x_P=3-$\frac{18}{5}$=-$\frac{3}{5}$，y_P=-$\frac{4}{3}$×$\frac{3}{5}$+4=$\frac{16}{5}$，
∴P（-$\frac{3}{5}$，$\frac{16}{5}$），
∴直线PM解析式为y=-$\frac{3}{4}$x+$\frac{11}{4}$，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{3}{4}x+\frac{11}{4}}\\{y=\frac{4}{3}x-2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{57}{25}}\\{y=\frac{26}{25}}\end{array}\right.$，
∴点M（$\frac{57}{25}$，$\frac{26}{25}$）
∴EM=$\sqrt{（\frac{57}{25}-\frac{3}{2}）^{2}+（\frac{26}{25}）^{2}}$=$\frac{13}{10}$．
②NP=NM时，设直线EF与对称轴交于点K，K（3，2），
此时点N在PM的垂直平分线上，DN=NK，
∴N（3，5），P（$\frac{3}{4}$，5），
∴直线PM的解析式为y=-$\frac{3}{4}$x+$\frac{89}{16}$，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{4}{3}x-2}\\{y=-\frac{3}{4}x+\frac{89}{16}}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{363}{100}}\\{y=\frac{71}{25}}\end{array}\right.$，
∴M（$\frac{363}{100}$，$\frac{71}{25}$），
∴EM=$\sqrt{（\frac{363}{100}-\frac{3}{2}）^{2}+（\frac{71}{25}）^{2}}$=$\frac{71}{20}$，
③PM=MN时，cos∠MPN=$\frac{4}{5}$=$\frac{\frac{1}{2}PN}{PM}$，
∴PN=$\frac{144}{25}$，由此可得P（-$\frac{69}{25}$，$\frac{8}{25}$），
∴直线PM解析式为y=-$\frac{3}{4}$x-$\frac{7}{4}$，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{4}{3}x-2}\\{y=-\frac{3}{4}x-\frac{7}{4}}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{3}{25}}\\{y=-\frac{46}{25}}\end{array}\right.$，
∴M（$\frac{3}{25}$，-$\frac{46}{25}$），
∴EM=$\sqrt{（\frac{3}{25}-\frac{3}{2}）^{2}+（\frac{46}{25}）^{2}}$=$\frac{23}{10}$．
综上所述，EM=$\frac{13}{10}$或$\frac{71}{20}$或$\frac{23}{10}$．

点评 本题考查二次函数的综合题、一次函数、待定系数法、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用方程组确定灵活函数的交点坐标，学会讨论讨论，属于中考压轴题．