Question

已知二次函数y=-x²+bx+c的图象如图所示，它与x轴的一个交点A的坐标为（-1，0），另一个交点为B，顶点是D，与y轴的交点C的坐标为（0，3）．
（1）求出b，c的值，并写出此二次函数的解析式；
（2）根据图象，写出函数值y为正数时，自变量x的取值范围；
（3）连结AD，BD，求△ABD的面积．

Answer 1

解：（1）将A（-1，0）与C（0，3）代入二次解析式得：，
解得：，
则二次函数解析式为y=-x²+2x+3；
（2）令y=0，得到-x²+2x+3=0，即（x-3）（x+1）=0，
可得x-3=0或x+1=0，
解得：x=3，或x=-1，
∴A（-1，0），B（3，0），
根据图象得：函数值y为正数时，自变量x的取值范围为-1＜x＜3；
（3）对于y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，得到顶点D（1，4），
则S_△ABD=AB•D_纵坐标=×4×4=8．
分析：（1）将A与C坐标代入二次函数解析式求出b与c的值，即可确定出二次函数解析式；
（2）求出抛物线与x轴的交点A与B坐标，利用图象即可确定出x的范围；
（3）求出AB的长，以及D纵坐标，利用三角形面积公式即可求出三角形ABD的面积．
点评：此题考查了待定系数法求抛物线解析式，二次函数的性质，以及抛物线与x轴的交点，利用了数形结合的思想，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．