Question

10．如图，矩形ABCD中，E为BC上一点，F为CD上一点，已知∠AEF=90°，∠AFE=30°，△ECF的外接圆切AD于H，则sin∠DAF=$\frac{3}{14}\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 连接HO并延长交BC于P，作EG⊥AD于G，设AE=1，根据直角三角形的性质求出EF、AF，设BE=x，CE=y，证明△ABE∽△ECF，根据相似三角形的性质表示出AB、CF、DF，结合图形、根据勾股定理列出高次方程，解方程求出x、y的值，根据正弦的定义计算即可．

解答 解：连接HO并延长交BC于P，作EG⊥AD于G，
设AE=1，
∵∠AEF=90°，∠AFE=30°，
∴EF=$\sqrt{3}$，AF=2，
由切线长定理得，AH=AE=1，
设BE=x，CE=y，
∵∠B=∠C=90°，∠AEF=90°，
∴△ABE∽△ECF，
∴$\frac{AB}{EC}=\frac{BE}{CF}=\frac{AE}{EF}=\frac{1}{\sqrt{3}}$，
∴AB=$\frac{\sqrt{3}}{3}$y，CF=$\sqrt{3}$x，
则DF=$\frac{\sqrt{3}}{3}$y-$\sqrt{3}$x，
∵EG∥HP∥CD，OE=OF，
∴DH=HG=$\frac{1}{2}$DG=$\frac{1}{2}$EC=$\frac{1}{2}$y，
∵BE=x，CE=y，
∴AD=BC=x+y，
∴DH=x+y-1，
则x+y-1=$\frac{1}{2}$y，
在Rt△ADF中，AD²+DF²=AF²，即（x+y）²+（$\frac{\sqrt{3}}{3}$y-$\sqrt{3}$x）²=4，
$\left\{\begin{array}{l}{x+y-1=\frac{1}{2}y}\\{4{x}^{2}+\frac{4}{3}{y}^{2}=4}\end{array}\right.$，
解得，$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{7}}\\{y=\frac{12}{7}}\end{array}\right.$，
则DF=$\frac{\sqrt{3}}{3}$y-$\sqrt{3}$x=$\frac{3}{7}\sqrt{3}$，
∴sin∠DAF=$\frac{DF}{AF}$=$\frac{3}{14}\sqrt{3}$，
故答案为：$\frac{3}{14}\sqrt{3}$．

点评 本题考查的是圆的切线的性质、矩形的性质相似三角形的判定和性质、高次方程的解法以及勾股定理的应用，正确作出辅助线、灵活运用相关的性质定理是解题的关键．