Question

20．如图，二次函数y=-x²+bx+c的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，OB=1，OC=3．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图，点P为抛物线上的一点，且在直线AC上方，当△ACP的面积是$\frac{27}{8}$时，求点的坐标；
（3）是否存在抛物线上的点P，使得△ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）把点B、C的坐标分别代入函数解析式，列出关于系数b、c的方程组，通过解方程组求得它们的值；
（2）过点P作直线l，l∥y轴，交直线AC于点D，由点A、C的坐标得到直线AC的方程，由三角形的面积公式和函数图象上点的坐标特征来求点P的坐标；
（3）由（1）中所求解析式可设点P的坐标为（m，-m²-2m+3）．当△ACP是以AC为直角边的直角三角形时，可分两种情况进行讨论：①以点A为直角顶点；②以点C为直角顶点；利用勾股定理分别列出关于m的方程，解方程即可．

解答 解：（1）如图1，∵OB=1，OC=3，
∴B（1，0），C（0，3），
将其代入y=-x²+bx+c，得
$\left\{\begin{array}{l}{-1+b+c=0}\\{c=3}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{b=-2}\\{c=3}\end{array}\right.$，
故该抛物线的解析式为：y=-x²-2x+3；

（2）如图1，过点P作直线l，l∥y轴，交直线AC于点D，
由（1）知，抛物线解析式为y=-x²-2x+3=-（x+3）（x-1），则A（3，0）．
由A（3，0），C（0，3）易得直线AC的解析式为：y=x+3．
设P（x，-x²-2x+3）．
则D（x，x+3）．
∴PD=-x²-3x．
∵△ACP的面积是$\frac{27}{8}$，
∴$\frac{1}{2}$PD•OA=$\frac{27}{8}$，即$\frac{1}{2}$（-x²-3x）×3=$\frac{27}{8}$，
解得x=-$\frac{3}{2}$，
∴P（-$\frac{3}{2}$，$\frac{15}{4}$）；

（3）存在．
设点P的坐标为（m，-m²-2m+3）．
∵A（-3，0），C（0，3），
∴AC²=3²+3²=18，AP²=（m+3）²+（-m²-2m+3）²，CP²=m²+（-m²-2m）²．
当△ACP是以AC为直角边的直角三角形时，可分两种情况：
①如图1，如果点C为直角顶点，那么AC²+CP²=AP²，
即18+m²+（-m²-2m）²=（m+3）²+（-m²-2m+3）²，
整理得m²+m=0，
解得m₁=-1，m₂=0（不合题意舍去），
则点P的坐标为（-1，4）；

②如图2，如果点A为直角顶点，那么AC²+AP²=CP²，
即18+（m+3）²+（-m²-2m+3）²=m²+（-m²-2m）²，
整理得m²+m-6=0，
解得m₁=2，m₂=-2（不合题意舍去），
则点P的坐标为（2，-5）；
综上所述，所有符合条件的点P的坐标为（-1，4）或（2，-5）．

点评 本题是二次函数的综合题，考查了利用待定系数法求抛物线的解析式，直角三角形的性质，二次函数图象上点的坐标特征，勾股定理的应用，一元二次方程的解法等知识，难度适中．利用分类讨论与方程思想是解题的关键．