Question

17．在⊙O中，弦AB、CD交于点E，且AB=CD，连接AC．
（1）如图1，求证：AE=CE；
（2）如图2，作射线CO，交AB弦于点F，连接AD，若∠BFC=∠DAC，求∠ACD的度数；
（3）如图3，在（2）的条件下，过点E作EG⊥CF于点G，交AC弦于点H，若AD=5$\sqrt{2}$，GH=2，求△ACD的面积．

Answer 1

分析 （1）只要证明$\widehat{AB}$=$\widehat{BC}$，即可推出∠A=∠C解决问题．
（2）如图2中，连接OA、OD、AD，只要证明∠OAD=∠ODA=∠ACD，在△AOD中利用三角形内角和定理即可解决问题．
（3）如图3中，连接OA、OD、OE、AD，先利用△OEA≌△HAE求出EG=3，再根据tan∠OEH=tan∠ACF列出方程求出OG，求出CD、AE即可解决问题．

解答 证明：（1）如图1中，

∵AB=CD，
∴$\widehat{AB}$=$\widehat{CD}$，
∴$\widehat{AB}$-$\widehat{BD}$=$\widehat{CD}$-$\widehat{BD}$，
∴$\widehat{AD}$=$\widehat{BC}$，
∴∠A=∠C，
∴AE=CE，

（2）如图2中，连接OA、OD、AD．

∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA
∵∠BFC=∠EAC+∠OCA，
∴∠BFC=∠EAC+∠OAC
∵∠BFC=∠DAC，
∴∠DAC=∠DAO+∠OAC=∠EAC+∠OAC
∴∠DAO=∠EAC，
∵∠EAC=∠ACD，
∴∠OAD=∠ODA=∠ACD，
∵∠AOD=2∠ACD，
∴△AOD中，∠ACD+∠ACD+2∠ACD=180°
∴∠ACD=45°，

（3）如图3中，连接OA、OD、OE、AD．

∵∠ACD=45°，
∴∠AOD=2∠ACD=90°
∵OA=OD，AD=5$\sqrt{2}$，
∴OA=OD=5，
∵∠ACD=∠CAB=45°，
∴∠AEC=90°
∵OE=OE，AE=CE，OA=OC，
∴△AEO≌△CEO
∴∠AEO=∠CEO=$\frac{1}{2}$∠AEC=45°，∠EAO=∠ECO
∵EH⊥CF，
∴∠EGC=∠EGF=90°，
∴∠HEA+∠EFC=90°
∵∠ECF+∠EFC=90°，
∴∠∠HEA=∠ECF=∠EAO
∵AE=EA，∠OEA=∠HAE=45°，
∴△OEA≌△HAE
∴EH=OA=5，
∴EG=3，
∵∠ACF+∠ECF=45°，∠HEA+∠OEH=45°，
∴∠OEH=∠ACF
∴tan∠OEH=tan∠ACF
∵OC=5，
∴$\frac{OG}{EG}$=$\frac{HG}{CG}$，
∴$\frac{OG}{3}$=$\frac{2}{5+OG}$，
解得OG=-5（舍）或OG=1，
∴CG=6，
∴CE=3$\sqrt{5}$，
∴AE=3$\sqrt{5}$，
∴DE=$\sqrt{5}$
∴CD=4$\sqrt{5}$，
∴S_△ACD=$\frac{1}{2}$CD•AE=$\frac{1}{2}$×$4\sqrt{5}$×$3\sqrt{5}$=30．

点评 本题考查圆的综合题、全等三角形的判定和性质、锐角三角函数、勾股定理、三角形的面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊三角形以及相似三角形，利用相似三角形的性质解决问题，属于中考压轴题．