Question

3．如图，抛物线y=-x²+2x+3，与坐标轴交于点A，B，C，且D为抛物线的顶点．
（1）求出点A，B，C，D的坐标：填空A（-1，0），B（3，0），C（0，3），D（1，4）．
（2）点C关于抛物线y=-x²+2x+3对称轴的对称点为E点，联结BC，BE，求∠CBE的正切值；
（3）在（2）的条件下，点M是抛物线对称轴上一点，且△DMB和△BCE相似，求点M坐标．

Answer 1

分析 （1）求与x轴的交点，令y=0；求与y轴的交点，令x=0；配方后写出顶点D的坐标；
（2）先根据对称性得点E（2，3），根据面积法求EH=$\sqrt{2}$，证明∠ECH=∠CBO=45°，得CH=EH=$\sqrt{2}$，根据正切定义得出结论；
（3）设M（1，m），对称轴交x轴于点P，则P（1，0），如图2，当点M在点D的下方时，△DMB与△BEC相似有两种情况，分别列比例式得出M的坐标，当点M在点D的上方时，根据题意知点M不存在．

解答 解：（1）y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，
∴顶点D（1，4），
当x=0时，y=3，
∴C（0，3），
当y=0时，-x²+2x+3=0，
解得：x₁=-1，x₂=3，
∴A（-1，0），B（3，0）；
故答案为：（-1，0）；（3，0）；（0，3）；（1，4）；
（2）由（1）可知抛物线对称轴为直线x=1，
∵点E与点C（0，3）关于直线x=1对称，
∴点E（2，3），
∴CE=2，
过点E作EH⊥BC于点H，
∵OC=OB=3，
∴BC=3$\sqrt{2}$，
∵S_△BEC=$\frac{1}{2}$CE•OC=$\frac{1}{2}$BC•EH，CE=2，
∴2×3=3$\sqrt{2}$EH，
解得EH=$\sqrt{2}$，
∵∠ECH=∠CBO=45°，
∴CH=EH=$\sqrt{2}$，
∴BH=BC-CH=3$\sqrt{2}$-$\sqrt{2}$=2$\sqrt{2}$，
∴在Rt△BEH中，tan∠CBE=$\frac{EH}{BH}$=$\frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{2}}$=$\frac{1}{2}$；
（3）当点M在点D的下方时，如图2，
设M（1，m），对称轴交x轴于点P，则P（1，0），
∴BP=2，DP=4，
∴tan∠BDP=$\frac{1}{2}$，
∵tan∠CBE=$\frac{1}{2}$，∠CBE、∠BDP均为锐角，
∴∠CBE=∠BDP，
∵△DMB与△BEC相似，
∴$\frac{DM}{DB}=\frac{BE}{BC}$或$\frac{DM}{DB}=\frac{BC}{BE}$，
①$\frac{DM}{DB}=\frac{BE}{BC}$，
∵DM=4-m，DB=2$\sqrt{5}$，BC=3$\sqrt{2}$，BE=$\sqrt{10}$，
∴$\frac{4-m}{2\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{10}}{3\sqrt{2}}$，
解得，m=$\frac{2}{3}$，
∴点M（1，$\frac{2}{3}$）；
②$\frac{DM}{DB}=\frac{BC}{BE}$，则$\frac{4-m}{2\sqrt{5}}=\frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{10}}$，
解得m=-2，
∴点M（1，-2），
当点M在点D的上方时，根据题意知点M不存在．
综上所述，点M的坐标为（1，$\frac{2}{3}$）或（1，-2）．

点评 本题是二次函数的综合题，考查了抛物线与坐标轴的交点、利用配方法求顶点坐标、对称性、三角形相似的性质和判定、三角函数，并运用了分类讨论的思想，第三问熟练掌握三角形相似的判定方法是关键，注意边和角的对应关系．