Question

当抛物线的解析式中含有字母系数时，随着系数中字母取值的不同，抛物线的顶点坐标也将发生变化．例如：由抛物线y=x²-2mx+m²+2m-1…（1）

x0=m  (3) y0=2m-1(4)

得：y=（x-m）²+2m-1…（2）
∴抛物线的顶点坐标为（m，2m-1），设顶点为P（x₀，y₀），
则：当m的值变化时，顶点横、纵坐标x₀，y₀的值也随之变化，将（3）代入（4）
得：y₀=2x₀-1．…（5）
可见，不论m取任何实数时，抛物线的顶点坐标都满足y=2x-1．
（1）根据阅读材料提供的方法，确定抛物线y=x²-2mx+2m²-4m+3的顶点纵坐标y与横坐标x之间的函数关系式．
（2）是否存在实数m，使抛物线y=x²-2mx+2m²-4m+3与x轴两交点A（x₁，0）、B（x₂，0）之间的距离为AB=4？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）根据材料给的方法：先配成y=（x-m）²+2m²-4m+2，得到顶点坐标，然后消去m，得到y与x的关系式；
（2）先根据根与系数的关系得到x₁+x₂=2m，x₁•x₂=2m²-4m+3，然后利用AB=|x₁-x₂|，通过变形得到AB=

-4(m-2)2

，即可得到AB的最大值为2，由此得到不存在实数m，使AB=4．

解答：解：（1）∵y=x²-2mx+2m²-4m+3=（x-m）²+2m²-4m+2，
∴抛物线的顶点坐标为（m，2m²-4m+2），设顶点为P（x₀，y₀），则：

x0=m y0=2m2-4m+2

，
当m的值变化时，顶点横、纵坐标x₀，y₀的值也随之变化，
∴y₀=2x₀²-4x₀+2，
可见，不论m取任何实数时，抛物线的顶点坐标都满足y=2x²-4x+2；

（2）不存在．理由如下：
∵抛物线y=x²-2mx+2m²-4m+3与x轴两交点A（x₁，0）、B（x₂，0），
∴x²-2mx+2m²-4m+3=0的两个根为x₁、x₂，
∴x₁+x₂=2m，x₁•x₂=2m²-4m+3，
∴AB=|x₁-x₂|=

(x1+x2)2-4x1x2

=

(2m)2-4(2m2-4m+3)

=

-4(m-2)2

，
∴AB的最大值为2，
∴不存在实数m，使AB=4．

点评：本题考查了二次函数综合题：抛物线的顶点式y=a（x-h）²+k（a≠0），则顶点坐标为（h，k）；抛物线与x轴两交点的距离．也考查了代数式的变形能力．