Question

2．正方形OABC的边长为4，对角线相交于点P，抛物线L经过O、P、A三点，点E是正方形内的抛物线上的动点．
（1）建立适当的平面直角坐标系，
①直接写出O、P、A三点坐标；
②求抛物线L的解析式；
（2）求△OAE与△OCE面积之和的最大值．

Answer 1

分析 （1）以O点为原点，线段OA所在的直线为x轴，线段OC所在的直线为y轴建立直角坐标系．①根据正方形的边长结合正方形的性质即可得出点O、P、A三点的坐标；②设抛物线L的解析式为y=ax²+bx+c，结合点O、P、A的坐标利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（2）由点E为正方形内的抛物线上的动点，设出点E的坐标，结合三角形的面积公式找出S_△OAE+S_OCE关于m的函数解析式，根据二次函数的性质即可得出结论．

解答 解：（1）以O点为原点，线段OA所在的直线为x轴，线段OC所在的直线为y轴建立直角坐标系，如图所示．

①∵正方形OABC的边长为4，对角线相交于点P，
∴点O的坐标为（0，0），点A的坐标为（4，0），点P的坐标为（2，2）．
②设抛物线L的解析式为y=ax²+bx+c，
∵抛物线L经过O、P、A三点，
∴有$\left\{\begin{array}{l}{0=c}\\{0=16a+4b+c}\\{2=4a+2b+c}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{2}}\\{b=2}\\{c=0}\end{array}\right.$，
∴抛物线L的解析式为y=-$\frac{1}{2}{x}^{2}$+2x．
（2）∵点E是正方形内的抛物线上的动点，
∴设点E的坐标为（m，-$\frac{1}{2}{m}^{2}$+2m）（0＜m＜4），
∴S_△OAE+S_OCE=$\frac{1}{2}$OA•y_E+$\frac{1}{2}$OC•x_E=-m²+4m+2m=-（m-3）²+9，
∴当m=3时，△OAE与△OCE面积之和最大，最大值为9．

点评 本题考查了待定系数法求函数解析式、正方形的性质、三角形的面积公式以及二次函数的性质，解题的关键是：（1）建立直角坐标系．①根据正方形的性质找出点的坐标；②利用待定系数法求函数解析式；（2）利用二次函数的性质解决最值问题．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，建立直角坐标系，找出点的坐标，再结合点的坐标利用待定系数法求出函数解析式是关键．