Question

连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线，如图1，AC、AD是五边形ABCDE的对角线．思考下列问题：
（1）如图2，n边形A₁A₂A₃A₄…A_n中，过顶点A₁可以画

n-3

条对角线，它别是

A₁A_n-1（n＞3）

；过顶点A₂可以画

（n-3）

条对角线，过顶点A₃可以画

（n-3）

条对角线．
（2）过顶点A₁的对角线与过顶点A₂的对角线有相同的吗？过顶点A₁的对角线与过顶点A₃的对角线有相同的吗？
（3）在此基础上，你能发现n边形的对角线条数的规律吗？
（4）在此基础上，推导出n边形的内角和．

Answer 1

分析：（1）过点A₁和任意不相邻的两点连接可得出到一条对角线；同理可得过点A₂、A₃的情况．
（2）过点A₁的和过点A₂的没有重复的，但和过点A₃的有重复的（A₁A₃和A₃A₁重复）；
（3）过每一点有（n-3）条对角线，除去重复的即可得出总对角线的条数．
（4）过一点有（n-3）条对角线，分成（n-2）个三角形，根据三角形的内角和为180°即可得出答案．

解答：解：（1）过顶点A₁可以画（n-3）条对角线，它别是A₁A_n-1（n＞3）；过顶点A₂可以画（n-3）条对角线，过顶点A₃可以画（n-3）条对角线；
（2）过点A₁的和过点A₂的没有重复的，但和过点A₃的有重复的（A₁A₃和A₃A₁重复）；
（3）n边形的一个顶点不能与它本身及左右两个邻点相连成对角线，故可连出（n-3）条，
共有n个顶点，应为n（n-3）条，这样算出的数，正好多出了一倍，所以再除以2．
即n边形的对角线条数的为：

n(n-3)

2

．
（4）过一点有（n-3）条对角线，分成（n-2）个三角形，
故n边形的内角和为180°•（n-2）．

点评：此题考查了多边形的对角线及多边形的内角和的知识，属于基础题，注意一些基本知识的掌握．