Question

2．如图，已知二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象经过A（-1，0）、B（4，0）、C（0，2）三点．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）点D是该二次函数图象上的一点，且满足∠DBA=∠CAO（O是坐标原点），求点D的坐标；
（3）点P是该二次函数图象上位于第一象限上的一动点，连接PA分别交BC、y轴于点E、F，若△PEB、△CEF的面积分别为S₁、S₂，求S₁-S₂的最大值．

Answer 1

分析 （1）由A、B、C三点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；
（2）当点D在x轴上方时，则可知当CD∥AB时，满足条件，由对称性可求得D点坐标；当点D在x轴下方时，可证得BD∥AC，利用AC的解析式可求得直线BD的解析式，再联立直线BD和抛物线的解析式可求得D点坐标；
（3）过点P作PH∥y轴交直线BC于点H，可设出P点坐标，从而可表示出PH的长，可表示出△PEB的面积，进一步可表示出直线AP的解析式，可求得F点的坐标，联立直线BC和PA的解析式，可表示出E点横坐标，从而可表示出△CEF的面积，再利用二次函数的性质可求得S₁-S₂的最大值．

解答 解：
（1）由题意可得$\left\{\begin{array}{l}{a-b+c=0}\\{16a+4b+c=0}\\{c=2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{2}}\\{b=\frac{3}{2}}\\{c=2}\end{array}\right.$，
∴抛物线解析式为y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2；

（2）当点D在x轴上方时，过C作CD∥AB交抛物线于点D，如图1，

∵A、B关于对称轴对称，C、D关于对称轴对称，
∴四边形ABDC为等腰梯形，
∴∠CAO=∠DBA，即点D满足条件，
∴D（3，2）；
当点D在x轴下方时，
∵∠DBA=∠CAO，
∴BD∥AC，
∵C（0，2），
∴可设直线AC解析式为y=kx+2，把A（-1，0）代入可求得k=2，
∴直线AC解析式为y=2x+2，
∴可设直线BD解析式为y=2x+m，把B（4，0）代入可求得m=-8，
∴直线BD解析式为y=2x-8，
联立直线BD和抛物线解析式可得$\left\{\begin{array}{l}{y=2x-8}\\{y=-\frac{1}{2}{x}^{2}+\frac{3}{2}x+2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-5}\\{y=-18}\end{array}\right.$，
∴D（-5，-18）；
综上可知满足条件的点D的坐标为（3，2）或（-5，-18）；

（3）过点P作PH∥y轴交直线BC于点H，如图2，

设P（t，-$\frac{1}{2}$t²+$\frac{3}{2}$t+2），
由B、C两点的坐标可求得直线BC的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+2，
∴H（t，-$\frac{1}{2}$t+2），
∴PH=y_P-y_H=-$\frac{1}{2}$t²+$\frac{3}{2}$t+2-（-$\frac{1}{2}$t+2）=-$\frac{1}{2}$t²+2t，
设直线AP的解析式为y=px+q，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{2}{t}^{2}+\frac{3}{2}t+2=tp+q}\\{0=-p+q}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{p=-\frac{1}{2}t+2}\\{q=-\frac{1}{2}t+2}\end{array}\right.$，
∴直线AP的解析式为y=（-$\frac{1}{2}$t+2）（x+1），令x=0可得y=2-$\frac{1}{2}$t，
∴F（0，2-$\frac{1}{2}$t），
∴CF=2-（2-$\frac{1}{2}$t）=$\frac{1}{2}$t，
联立直线AP和直线BC解析式可得$\left\{\begin{array}{l}{y=（2-\frac{1}{2}t）（x+1）}\\{y=-\frac{1}{2}x+2}\end{array}\right.$，解得x=$\frac{t}{5-t}$，即E点的横坐标为$\frac{t}{5-t}$，
∴S₁=$\frac{1}{2}$PH（x_B-x_E）=$\frac{1}{2}$（-$\frac{1}{2}$t²+2t）（4-$\frac{t}{5-t}$），S₂=$\frac{1}{2}$•$\frac{t}{2}$•$\frac{t}{5-t}$，
∴S₁-S₂=$\frac{1}{2}$（-$\frac{1}{2}$t²+2t）（4-$\frac{t}{5-t}$）-$\frac{1}{2}$•$\frac{t}{2}$•$\frac{t}{5-t}$=-$\frac{5}{4}$t²+4t=-$\frac{5}{4}$（t-$\frac{8}{5}$）²+$\frac{16}{5}$，
∴当t=$\frac{8}{5}$时，有S₁-S₂有最大值，最大值为$\frac{16}{5}$．

点评 本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、平行线的判定和性质、三角形的面积、二次函数的性质、方程思想伋分类讨论思想等知识．在（1）中注意待定系数法的应用，在（2）中确定出D点的位置是解题的关键，在（3）中用P点的坐标分别表示出两个三角形的面积是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，计算量大，难度较大．