Question

如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径的⊙O交AC于点D，E是BC的中点，连接DE．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）连接OE，若AB=4，AD=3，求OE的长．

Answer 1

（1）证明：连接OD，BD，
∵AB为圆O的直径，
∴∠ADB=90°，
在Rt△BDC中，E为斜边BC的中点，
∴CE=DE=BE=

1

2

BC，
∴∠C=∠CDE，
∵OA=OD，∴∠A=∠ADO，
∵∠ABC=90°，即∠C+∠A=90°，
∴∠ADO+∠CDE=90°，即∠ODE=90°，
∴DE⊥OD，又OD为圆的半径，
∴DE为圆O的切线；

（2）在Rt△ABD中，AB=4，AD=3，
根据勾股定理得：BD=

AB2-AD2

=

7

，
∵∠DAB=∠BAC，∠ADB=∠CBA=90°，
∴△ADB∽△ABC，
∴

AD

AB

=

DB

BC

，即

3

4

=

7

BC

，
解得：BC=

4 7

3

，
在Rt△ABC中，根据勾股定理得：AC=

AB2+BC2

=

16

3

，
∵E为BC的中点，O为AB的中点，
∴OE为△ABC的中位线，
则OE=

1

2

AC=

8

3

．