Question

8．试证：对任意的正整数n，有$\frac{1}{1×2×3}$+$\frac{1}{2×3×4}$+…+$\frac{1}{n（n+1）（n+2）}$＜$\frac{1}{4}$．

Answer 1

分析 利用等式$\frac{1}{n（n+1）（n+2）}$=$\frac{1}{2}$[$\frac{1}{n（n+1）}$-$\frac{1}{（n+1）（n+2）}$]，把原式化为=$\frac{1}{2}$[$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{6}$+$\frac{1}{6}$-$\frac{1}{12}$+…+$\frac{1}{n（n+1）}$-$\frac{1}{（n+1）（n+2）}$]，然后合并后进行通分即可．

解答 证明：$\frac{1}{1×2×3}$+$\frac{1}{2×3×4}$+…+$\frac{1}{n（n+1）（n+2）}$
=$\frac{1}{2}$[$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{6}$+$\frac{1}{6}$-$\frac{1}{12}$+…+$\frac{1}{n（n+1）}$-$\frac{1}{（n+1）（n+2）}$]
=$\frac{1}{2}$[$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{（n+1）（n+2）}$]
=$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{2（n+1）（n+2））}$＜$\frac{1}{4}$．

点评 考查了分式的加减法，关键是熟练掌握$\frac{1}{n（n+1）（n+2）}$=$\frac{1}{2}$[$\frac{1}{n（n+1）}$-$\frac{1}{（n+1）（n+2）}$]的知识点．