Question

20．问题探究：（1）已知：如图1，在正方形ABCD中，点E，H分别在BC，AB上，若AE丄DH于点O，求证：AE=DH 
类比探究：（2）已知：如图2，在正方形ABCD中，点H，E，G，F分别在AB，BC，CD，DA上，若EF⊥HG于点O，则线段EF与HG有什么数量关系，并说明理由；
拓展应用：（3）已知：如图3，在（2）问条件下，若HF∥GE，BE=EC=2，EO=2FO，求HG的长．

Answer 1

分析 （1）由正方形的性质得AB=DA，∠ABE=90°=∠DAH．所以∠HAO+∠OAD=90°，又知∠ADO+∠OAD=90°，所以∠HAO=∠ADO，于是△ABE≌△DAH，可得AE=DH；
（2）EF=GH．将FE平移到AM处，则AM∥EF，AM=EF，将GH平移到DN处，则DN∥GH，DN=GH．根据（1）的结论得AM=DN，所以EF=GH；
（3）易得△AHF∽△CGE，所以$\frac{AF}{CE}=\frac{FH}{EG}=\frac{1}{2}$，由EC=2得AF=1，过F作FP⊥BC于P，根据勾股定理得EF=$\sqrt{17}$，根据（2）①知EF=GH，即可得到结论．

解答 解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=DA，∠ABE=90°=∠DAH．
∴∠HAO+∠OAD=90°．
∵AE⊥DH，
∴∠ADO+∠OAD=90°．
∴∠HAO=∠ADO．
∴△ABE≌△DAH（ASA），
∴AE=DH．

（2）EF=GH．
将FE平移到AM处，则AM∥EF，AM=EF．
将GH平移到DN处，则DN∥GH，DN=GH．

∵EF⊥GH，
∴AM⊥DN，
根据（1）的结论得AM=DN，所以EF=GH；

（3）∵四边形ABCD是正方形，
∴AB∥CD
∴∠AHO=∠CGO
∵FH∥EG
∴∠FHO=∠EGO
∴∠AHF=∠CGE
∴△AHF∽△CGE
∴$\frac{AF}{CE}=\frac{FH}{EG}=\frac{1}{2}$，
∵EC=2，
∴AF=1，
过F作FP⊥BC于P，
根据勾股定理得EF=$\sqrt{P{E}^{2}+P{F}^{2}}$=$\sqrt{17}$
根据（2）知EF=GH，
∴GH=$\sqrt{17}$．

点评 本题考查了三角形的综合知识．用到全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等综合性较强，正确的作出辅助线是解题的关键．