Question

如图，在△ABC中，AB=8，AC=6，BC=4，点D、E分别在边AB、AC上，DE与BC的延长线相交于点F，且FC•FB=FE•FD．
（1）求证：△ADE∽△ACB；
（2）如果△ADE的周长与四边形BCED的周长相等，求DE的长．

Answer 1

分析：（1）首先由FC•FB=FE•FD，∠F=∠F可以证明△FCE∽△FDB，然后利用相似三角形的性质得到∠FEC=∠B，又∠AED=∠FEC，由此得到∠AED=∠B，又∠A=∠A，由此即可证明△ADE∽△ACB；
（2）由△ADE的周长与四边形BCED的周长相等可以得到△ADE∽△ACB的相似比，然后利用已知条件即可求出DE的长．

解答：（1）证明：∵FC•FB=FE•FD，
∴

FC

FD

=

AE

FB

．（1分）
∵∠F=∠F，
∴△FCE∽△FDB．（2分）
∴∠FEC=∠B．（1分）
∵∠AED=∠FEC，
∴∠AED=∠B．（1分）
又∵∠A=∠A，
∴△ADE∽△ACB．（1分）

（2）解：∵△ADE∽△ACB，
∴

AD

AC

=

AE

AB

=

ED

BC

，（1分）
∵AB=8，AC=6，BC=4，
∴

AD

6

=

AE

8

=

ED

4

．
∴

AD

3

=

AE

4

=

ED

2

．
设AD=3k，AE=4k，ED=2k．（1分）
∵AD+AE+DE=DE+BD+BC+CE，
∴AD+AE=BD+BC+CE=

1

2

（AB+BC+AC）．（1分）
∴3k+4k=

1

2

(8+4+6)，（1分）
∴k=

9

7

（1分）
∴DE=2k=

18

7

．（1分）

点评：此题主要考查了相似三角形的性质与判定，解题时首先利用已知比例线段证明三角形相似，然后利用相似三角形的性质证明题目要求的三角形相似，最后利用周长比和相似比的关系解决问题．