Question

如图所示，平行四边形ABCD中，以BC、CD为边向内作等边△BCE和等边△CDF．求证：△AEF为等边三角形．

Answer 1

考点：平行四边形的性质,全等三角形的判定与性质,等边三角形的判定与性质

专题：证明题

分析：根据平行四边形的性质和等边三角形的性质得出AB=CD=CF，BE=CE，∠EBA=∠ECF，所以由SAS证△EBA≌△ECF，根据全等三角形的对应边、角相等以及等边三角形的判定证得结论．

解答：证明：如图，∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD．
∵△BCE和△CDF是等边三角形，
∴BE=CE，CF=CD，∠EBC=∠BCE=∠ECD=60°，
∴AB=FC，∠EBA=60°-∠ABC=60°-（180°-∠BCD）=∠BCD-120°=∠ECF，即∠EBA=∠ECF，
∴在△BEA与△CEF中，

BE=CE EBA=∠ECF AB=FC

，
∴△EBA≌△ECF（SAS），
∴EA=EF，∠BEA=∠CEF，
∴∠BEC=∠BEA+∠AEC=∠CEF+∠AEC=60°，即∠AEF=60°．
∴△AEF是等边三角形．

点评：本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质以及等边三角形的判定与性质．根据已知条件判定△EBA≌△ECF是解题的关键．此题是根据“有一内角为60度的三角形是等边三角形”证得结论的．