Question

【题目】（12分）已知点P是线段AB上与点A不重合的一点，且AP＜PB．AP绕点A逆时针旋转角α（0°＜α≤90°）得到AP1，BP绕点B顺时针也旋转角α得到BP2，连接PP1、PP2．

（1）如图1，当α=90°时，求∠P1PP2的度数；

（2）如图2，当点P2在AP1的延长线上时，求证：△P2P1P∽△P2PA；

（3）如图3，过BP的中点E作l1⊥BP，过BP2的中点F作l2⊥BP2，l1与l2交于点Q，连接PQ，求证：P1P⊥PQ．

Answer 1

【答案】（1）90°；（2）见解析；（3）见解析．

【解析】

试题此题主要考查了几何变换综合以及相似三角形的判定和全等三角形的判定与性质等知识，得出Rt△QBE≌Rt△QBF是解题关键．（1）利用旋转的性质以及等腰直角三角形得出∠APP1=∠BPP2=45°，进而得出答案；（2）根据题意得出△PAP1和△PBP2均为顶角为α的等腰三角形，进而得出∠P1PP2=∠PAP2=α，求出△P2P1P∽△P2PA；（3）首先连结QB，得出Rt△QBE≌Rt△QBF，利用∠P1PQ=180°﹣∠APP1﹣∠QPB求出即可．

试题解析：（1）解：由旋转的性质得：AP=AP1，BP=BP2． ∵α=90°，

∴△PAP1和△PBP2均为等腰直角三角形， ∴∠APP1=∠BPP2=45°，

∴∠P1PP2=180°﹣∠APP1﹣∠BPP2=90°；

（2）证明：由旋转的性质可知△PAP1和△PBP2均为顶角为α的等腰三角形， ∴∠APP1=∠BPP2=90°﹣α，

∴∠P1PP2=180°﹣（∠APP1+∠BPP2）=180°﹣2（90°－α）=α，

在△PP2P1和△P2PA中，∠P1PP2=∠PAP2=α， 又∵∠PP2P1=∠AP2P， ∴△P2P1P∽△P2PA．

（3）证明：如图，连接QB． ∵l1，l2分别为PB，P2B的中垂线， ∴EB=BP，FB=BP2．

又BP=BP2， ∴EB=FB． 在Rt△QBE和Rt△QBF中，， ∴Rt△QBE≌Rt△QBF，

∴∠QBE=∠QBF=∠PBP2=α， 由中垂线性质得：QP=QB， ∴∠QPB=∠QBE=α，

由（2）知∠APP1=90°﹣α， ∴∠P1PQ=180°﹣∠APP1﹣∠QPB=180°﹣（90°﹣α）－α=90°，

即 P1P⊥PQ．