【题目】如图1,平行四边形在平面直角坐标系中,其中点的坐标分别是,,点在轴正半轴上,点为的中点,点在轴正半轴上,
(1)点的坐标为______,点的坐标为_______.
(2)求点的坐标.
(3)如图2,根据(2)中结论,将顺时针旋转至,求的长度.
【答案】(1)(0,2);(3,0);(2)(,1);(3).
【解析】
(1)由平行四边形的性质可得AB=CD,AB∥CD,由点C在y轴正半轴上,D的坐标是(5,2),可得CD=AB=5,即可求点C,点B坐标;
(2)由中点坐标公式可求点M坐标;
(3)由两点距离公式可求CM的长,由旋转的性质可得△CMN是等腰直角三角形,由直角三角形的性质可求MN的长.
解:(1)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB=CD,AB∥CD,
∵点C在y轴正半轴上,D的坐标是(5,2),
∴点C坐标为(0,2),CD=5,
∴AB=CD=5,
又点A(-2,0),
∴点B(3,0)
故答案为:(0,2);(3,0);
(2)∵点M为AD的中点,且点A,D的坐标分别是(-2,0),(5,2),
∴点M(,1);
(3)∵点M(,1),点C(0,2),
∴CM=,
∵将△CMD顺时针旋转90°至△CND′,
∴CM=CN=,∠MCN=90°,
∴△CMN是等腰直角三角形,
∴MN=.
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【题目】如图,已知在中,,,线段的垂直平分线交于点,交于点,则以下结论:①是等腰三角形;②是的角平分线;③的周长;④正确的有( )
A.①②B.①③C.③④D.②④
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【题目】如图1,在正方形ABCD中,点E,F分别在AB,BC上,且AE=BF.
(1)试探索线段AF,DE的数量关系,写出你的结论并说明理由;
(2)连接EF,DF,分别取AE,EF,FD,DA的中点H,I,J,K,则四边形HIJK是什么特殊四边形?请在图2中补全图形,并说明理由.
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【题目】如图,点M(4,0),以点M为圆心、2为半径的圆与x轴交于点A、B.已知抛物线 过点A和B,与y轴交于点C.
(1)求点C的坐标,并画出抛物线的大致图象.
(2)点Q(8,m)在抛物线上,点P为此抛物线对称轴上一个动点,求PQ+PB的最小值.
(3)CE是过点C的⊙M的切线,点E是切点,求OE所在直线的解析式.
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【题目】如图,△ABC的两条角平分线BD、CE交于O,且∠A=60°,则下列结论中不正确的是( )
A.∠BOC=120° B.BC=BE+CD C.OD=OE D.OB=OC
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【题目】在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A(1,0),B(3,0),与y轴交于C(0,3),抛物线顶点为D点.
(1)求此抛物线解析式;
(2)如图1,点P为抛物线上的一个动点,且在对称轴右侧,若△ADP面积为3,求点P的坐标;
(3)在(2)的条件下,PA交对称轴于点E,如图2,过E点的任一条直线与抛物线交于M,N两点,直线MD交直线y=﹣3于点F,连结NF,求证:NF∥y轴.
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【题目】我们约定:对角线互相垂直的凸四边形叫做“正垂形”.
(1)①在“平行四边形,矩形,菱形,正方形”中,一定是“正垂形”的有 ;
②在凸四边形ABCD中,AB=AD且CB≠CD,则该四边形 “正垂形”.(填“是”或“不是”)
(2)如图1,A,B,C,D是半径为1的⊙O上按逆时针方向排列的四个动点,AC与BD交于点E,∠ACB﹣∠CDB=∠ACD﹣∠CBD,当≤OE≤时,求AC2+BD2的取值范围;
(3)如图2,在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a>0,c<0)与x轴交于A,C两点(点A在点C的左侧),B是抛物线与y轴的交点,点D的坐标为(0,﹣ac),记“正垂形”ABCD的面积为S,记△AOB,△COD,△AOD,△BOC的面积分别为S1,S2,S3,S4.试直接写出满足下列三个条件的抛物线的解析式;
①; ②; ③“正垂形”ABCD的周长为12.
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【题目】如图,在正方形网格中,每个小正方形的边长为1,格点△ABC(顶点在网格线的交点上)的顶点A、C的坐标分别为A(﹣3,4)C(0,2)
(1)请在网格所在的平面内建立平面直角坐标系,并写出点B的坐标;
(2)画出△ABC关于原点对称的图形△A1B1C1;
(3)求△ABC的面积;
(4)在x轴上存在一点P,使PA+PB的值最小,请直接写出点P的坐标.
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