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【题目】如图,已知抛物线y=ax2+bx+ca≠0)的对称轴为直线x=-1,且抛物线经过A(1,0),C(0,3)两点,与x轴交于点B

(1)若直线y=mx+n经过BC两点,求直线BC和抛物线的解析式;

(2)在抛物线的对称轴x=-1上找一点M,使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小,求出点M的坐标;

(3)设点P为抛物线的对称轴x=-1上的一个动点,求使△BPC为直角三角形的点P的坐标.

【答案】(1y=x+3y=-x2-2x+3;(2M的坐标为(-12);(3P的坐标为(-1-2)或(-14)或(-1) 或(-1).

【解析】试题分析:(1)先把点AC的坐标分别代入抛物线解析式得到abc的关系式,再根据抛物线的对称轴方程可得ab的关系,再联立得到方程组,解方程组,求出abc的值即可得到抛物线解析式;把BC两点的坐标代入直线y=mx+n,解方程组求出mn的值即可得到直线解析式;

2)设直线BC与对称轴x=-1的交点为M,则此时MA+MC的值最小.把x=-1代入直线y=x+3y的值,即可求出点M坐标;

3)设P-1t),又因为B-30),C03),所以可得BC2=18PB2=-1+32+t2=4+t2PC2=-12+t-32=t2-6t+10,再分三种情况分别讨论求出符合题意t值即可求出点P的坐标.

试题解析:(1)依题意得:

解之得:

抛物线解析式为y=-x2-2x+3

对称轴为x=-1,且抛物线经过A10),

B-30)、C03)分别代入直线y=mx+n

解之得:

直线y=mx+n的解析式为y=x+3

2)设直线BC与对称轴x=-1的交点为M,则此时MA+MC的值最小.

x=-1代入直线y=x+3得,y=2

∴M-12),

即当点M到点A的距离与到点C的距离之和最小时M的坐标为(-12);

3)设P-1t),

∵B-30),C03),

∴BC2=18PB2=-1+32+t2=4+t2PC2=-12+t-32=t2-6t+10

若点B为直角顶点,则BC2+PB2=PC2即:18+4+t2=t2-6t+10解之得:t=-2

若点C为直角顶点,则BC2+PC2=PB2即:18+t2-6t+10=4+t2解之得:t=4

若点P为直角顶点,则PB2+PC2=BC2即:4+t2+t2-6t+10=18解之得:t1=t2=

综上所述P的坐标为(-1-2)或(-14)或(-1) 或(-1).

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