【题目】如图,已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=-1,且抛物线经过A(1,0),C(0,3)两点,与x轴交于点B.
(1)若直线y=mx+n经过B、C两点,求直线BC和抛物线的解析式;
(2)在抛物线的对称轴x=-1上找一点M,使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小,求出点M的坐标;
(3)设点P为抛物线的对称轴x=-1上的一个动点,求使△BPC为直角三角形的点P的坐标.
【答案】(1)y=x+3;y=-x2-2x+3;(2)M的坐标为(-1,2);(3)P的坐标为(-1,-2)或(-1,4)或(-1, ) 或(-1, ).
【解析】试题分析:(1)先把点A,C的坐标分别代入抛物线解析式得到a和b,c的关系式,再根据抛物线的对称轴方程可得a和b的关系,再联立得到方程组,解方程组,求出a,b,c的值即可得到抛物线解析式;把B、C两点的坐标代入直线y=mx+n,解方程组求出m和n的值即可得到直线解析式;
(2)设直线BC与对称轴x=-1的交点为M,则此时MA+MC的值最小.把x=-1代入直线y=x+3得y的值,即可求出点M坐标;
(3)设P(-1,t),又因为B(-3,0),C(0,3),所以可得BC2=18,PB2=(-1+3)2+t2=4+t2,PC2=(-1)2+(t-3)2=t2-6t+10,再分三种情况分别讨论求出符合题意t值即可求出点P的坐标.
试题解析:(1)依题意得: ,
解之得: ,
∴抛物线解析式为y=-x2-2x+3
∵对称轴为x=-1,且抛物线经过A(1,0),
∴把B(-3,0)、C(0,3)分别代入直线y=mx+n,
得,
解之得: ,
∴直线y=mx+n的解析式为y=x+3;
(2)设直线BC与对称轴x=-1的交点为M,则此时MA+MC的值最小.
把x=-1代入直线y=x+3得,y=2,
∴M(-1,2),
即当点M到点A的距离与到点C的距离之和最小时M的坐标为(-1,2);
(3)设P(-1,t),
又∵B(-3,0),C(0,3),
∴BC2=18,PB2=(-1+3)2+t2=4+t2,PC2=(-1)2+(t-3)2=t2-6t+10,
①若点B为直角顶点,则BC2+PB2=PC2即:18+4+t2=t2-6t+10解之得:t=-2;
②若点C为直角顶点,则BC2+PC2=PB2即:18+t2-6t+10=4+t2解之得:t=4,
③若点P为直角顶点,则PB2+PC2=BC2即:4+t2+t2-6t+10=18解之得:t1=,t2=;
综上所述P的坐标为(-1,-2)或(-1,4)或(-1, ) 或(-1, ).
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,点0是坐标原点.边长为6的正方形OABC的顶点A,C分别在x轴和y轴的正半轴上,点E是对角线AC上一点,连接OE、BE,BE的延长线交OA于点P,若△OCE的面积为12.
(1)求点E的坐标;
(2)求△OPE的周长.
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【题目】“切实减轻学生课业负担”是我市作业改革的一项重要举措.某中学为了解本校学生平均每天的课外作业时间,随机抽取部分学生进行问卷调查,并将调查结果分为A、B、C、D四个等级,A:1小时以内;B:1小时--1.5小时;C:1.5小时--2小时;D:2小时以上.根据调查结果绘制了如图所示的两种不完整的统计图,请根据图中信息解答下列问题:
(1)该校共调查了 学生;
(2)请将条形统计图补充完整;
(3)表示等级A的扇形圆心角α的度数是 ;
(4)在此次调查问卷中,甲、乙两班各有2人平均每天课外作业量都是2小时以上,从这4人中人选2人去参加座谈,用列表表或画树状图的方法求选出的2人来自不同班级的概率.
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【题目】如图,O是正△ABC内一点,OA=3,OB=4,OC=5,将线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转60°得到线段BO′,下列结论:①△BO′A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到;②点O与O′的距离为4;③∠AOB=150°;④S四边形AOBO′=6+3;⑤S△AOC+S△AOB=6+.其中正确的结论是
A. ①②③⑤ B. ①③④ C. ②③④⑤ D. ①②⑤
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【题目】无论a取何值,下列方程总是x的一元二次方程的是( )
A. (a2+1)x2=4 B. (a﹣2)x2=2 C. ax2+3x﹣2=0 D. 2x2+ax﹣1=2x2
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx-3(a≠0)与x轴交于点A(-2,0)、B(4,0)两点,与y轴交于点C.
(1)求抛物线的解析式;
(2)点P从A点出发,在线段AB上以每秒3个单位长度的速度向B点运动,同时点Q从B点出发,在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向C点运动,其中一个点到达终点时,另一个点也停止运动,当△PBQ存在时,求运动多少秒使△PBQ的面积最大,最大面积是多少?
(3)当△PBQ的面积最大时,在BC下方的抛物线上存在点K,使S△CBK:S△PBQ=5:2,求K点坐标.
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【题目】在硬地上掷1枚图钉,通常会出现两种情况:“钉尖着地”与“钉尖不着地”.任意重复抛掷1枚图钉很多次时,你认为是哪种情况的可能性大( )
A.钉尖着地
B.钉尖不着地
C.一样大
D.不能确定
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