如图1.矩形ABCD中.AB=6.BD=10．Rt△EFG的直角边GE在CB的延长线上.E点与矩形的B点重合.∠FGE=90°.已知GE+AB=BC.FG=2GE．将矩形ABCD固定.把Rt△EFG沿着射线BC方向按每秒1个单位运动.直到点G到达点C停止运动．设Rt△EFG的运动时间为t秒．(1)求出线段FG的长.并求出当点F恰好经过BD时.运� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

精英家教网 > 初中数学 > 题目详情

2．如图1，矩形ABCD中，AB=6，BD=10．Rt△EFG的直角边GE在CB的延长线上，E点与矩形的B点重合，∠FGE=90°，已知GE+AB=BC，FG=2GE．将矩形ABCD固定，把Rt△EFG沿着射线BC方向按每秒1个单位运动，直到点G到达点C停止运动．设Rt△EFG的运动时间为t秒（t＞0）．

（1）求出线段FG的长，并求出当点F恰好经过BD时，运动时间t的值；
（2）在整个运动过程中，设Rt△EFG与△BCD的重合部分面积为S，请直接写出S与t之间的函数关系式和相应的自变量t的取值范围；
（3）如图2，当点F恰好经过BD时，将△BFG绕点F逆时针旋转α°（0＜α＜180），记旋转中的△BFG为△B′FG′，在旋转过程中，设直线B′G′与直线BC交于N，与直线BD交于点M，是否存在这样的M、N两点，使△BMN为等腰三角形？若存在，求出此时FM的值；若不存在，请说明理由．

分析（1）利用矩形的性质和勾股定理易得FG，利用相似三角形的性质可得BG的长；
（2）①如图1，当0＜t≤2时，根据三角形的面积公式求得结论；②如图2．当2＜t＜10时，根据三角形的面积公式即可得到结论；③如图3，当10≤t≤12时，根据两三角形的面积差即可得到结论；
（3）由第（1）问知，BG=$\frac{16}{3}$，于是得到BF=$\frac{20}{3}$，当 BM=BN时，如图4，根据等腰三角形的性质得到∠M=∠BNM，由于∠FBG=∠M+∠BNM=2∠M，得到∠M=∠M FB?，于是得到B?M=B?F=$\frac{20}{3}$，根据勾股定理求得结果，如图5，根据等腰三角形的性质得到∠M=∠BNM，由于∠FB?G?=∠FBG，于是得到∠M=∠M FB?=∠BNM，得到B?M=B?F=$\frac{20}{3}$，即可得到结论，当 NM=NB时，如图6，根据等腰三角形的性质得到∠M=∠NBM，由于∠FB?G?=∠FBG，于是得到∠M=∠FB?G?，FM=FB?=$\frac{20}{3}$，当 MN=MB时，如图7，根据等腰三角形的性质∠N=∠NBM，由于∠FB?G?=∠FBG，得到∠N=∠FB?G?，得到FB?∥BN，于是得到B?M=FM，根据勾股定理即可得到结果．

解答解：（1）在矩形ABCD中，AB=6，BD=10，
∴由勾股定理得BC=8，
∵在Rt△EFG中，GE+AB=BC，FG=2GE，
∴FG=4，
当点F恰好经过BD时，
∵∠FGE=90°，∠C=90°
∴FG∥DC，
∴△BFG∽△BCD，
∴$\frac{FG}{DC}=\frac{BG}{BC}$，即$\frac{4}{6}$=$\frac{BG}{8}$，
∴BG=$\frac{16}{3}$，
∴BE=$\frac{22}{3}$，
∴当点F恰好经过BD时，t=$\frac{22}{3}$；

（2）①如图1，当0＜t≤2时，S=$\frac{3}{11}$t²，
②如图2．当2＜t≤$\frac{22}{3}$时，S=-$\frac{9}{88}$t²+$\frac{3}{2}$t-$\frac{3}{2}$，
③如图3，当$\frac{22}{3}$＜t≤8时，S=4，
④如图4，当8＜t≤10时，S=-t²+16t-60，
综上所述：S=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{3}{11}{t}^{2}（0＜t≤2）}\\{-\frac{9}{88}{t}^{2}+\frac{3}{2}t-\frac{3}{2}（2＜t≤\frac{22}{3}）}\\{4（\frac{22}{3}＜t≤8）}\\{-{t}^{2}+16t-60（8＜t≤10）}\end{array}\right.$；

（3）由第（1）问知，BG=$\frac{16}{3}$，
∴BF=$\frac{20}{3}$
当 BM=BN时，如图4，
∴∠M=∠BNM，
∵∠FBG=∠M+∠BNM=2∠M，
∠FB?G?=∠FBG，
∠FBG=∠M+∠M FB?，
∴∠M=∠M FB?，
∴B?M=B?F=$\frac{20}{3}$，
∴M G?=$\frac{20}{3}$+$\frac{16}{3}$=12，
∴$MF=\sqrt{{{12}^2}+{4^2}}=4\sqrt{10}$；

如图5，∴∠M=∠BNM，
∵∠FB?G?=∠FBG，
∴∠M=∠M FB?=∠BNM，
∴B?M=B?F=$\frac{20}{3}$，
∴B?M=B?F=$\frac{20}{3}$，
∴M G?=$\frac{20}{3}$-$\frac{16}{3}$=$\frac{4}{3}$，
在Rt△G?FM中，由勾股定理得：$MF=\sqrt{{{（\frac{4}{3}）}^2}+{4^2}}=\frac{4}{3}\sqrt{10}$，
当 NM=NB时，如图6，
∴∠M=∠NBM，
∵∠FB?G?=∠FBG，
∴∠M=∠FB?G?，
∴FM=FB?=$\frac{20}{3}$，
当 MN=MB时，如图7，
∴∠N=∠NBM，
∵∠FB?G?=∠FBG，
∴∠N=∠FB?G?，
∴FB?∥BN，
∴B?M=FM，
∴设B?M=FM=x，
∴${x^2}={4^2}+{（\frac{16}{3}-x）^2}$，
∴$x=\frac{25}{6}$，
∴FM=$\frac{25}{6}$，
综上所述，当FM=$4\sqrt{10}$、$\frac{4}{3}\sqrt{10}$、$\frac{20}{3}$、$\frac{25}{6}$时，△BMN为等腰三角形．

点评本题考查了几何变换，勾股定理，矩形的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，求函数的解析式，正确的画出图形是解题的关键．

练习册系列答案

年级	高中课程	年级	初中课程
高一	高一免费课程推荐！	初一	初一免费课程推荐！
高二	高二免费课程推荐！	初二	初二免费课程推荐！
高三	高三免费课程推荐！	初三	初三免费课程推荐！
更多初中、高中辅导课程推荐,点击进入>>

相关习题

科目：初中数学 来源： 题型：解答题

11．

将两个全等的等腰直角三角形摆成如图所示的样子（图中的所有点，线都在同一平面内），请在图中找出两对相似而不全等的三角形，并说明它们相似的理由．

查看答案和解析>>

科目：初中数学 来源： 题型：解答题

12．计算：（$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{2003}$）（1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{2004}$）-（1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{2003}$）（$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{2004}$）

查看答案和解析>>

科目：初中数学 来源： 题型：解答题

9．解方程：$\frac{0.1x-0.02}{0.002}$-$\frac{0.1x+0.1}{0.05}$=0.3．

查看答案和解析>>

科目：初中数学 来源： 题型：填空题

16．已知a²=2015+b²，则a，b解出后的组合有8种．

查看答案和解析>>

科目：初中数学 来源： 题型：选择题

7．

如图，点C是以点O为圆心，AB为直径的半圆上的动点（点C不与点A，B重合），AB=4．设弦AC的长为x，△ABC的面积为y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是（　　）

A．

B．

C．

D．

查看答案和解析>>

科目：初中数学 来源： 题型：填空题

14．

如图，已知∠AOB=60°，点P在边OA上，OP=10，点M，N在边OB上，PM=PN，点C为线段OP上任意一点，CD∥ON交PM、PN分别为D、E．若MN=3，则$\frac{CD}{DE}$的值为$\frac{7}{6}$．

查看答案和解析>>

科目：初中数学 来源： 题型：解答题

11．如图1，直线y=-3x+6与x轴、y轴分别交于点A、B，抛物线y=a（x-4）²+k经过点A、B，并与x轴交于另一点C，其顶点为D．
（1）则a=$\frac{1}{2}$，k=-2；（直接填空）
（2）抛物线的对称轴上是否存在一点P，使△ABP是以AB为斜边的直角三角形？若存在，求P点的坐标；若不存在，说明理由．
（3）如图2，连接AD、DC、CB，经过点A存在一条直线将四边形ABCD的面积分为3：5的两个部分，试求这条直线的函数关系式．

查看答案和解析>>

科目：初中数学 来源： 题型：填空题

12．规定用符号[m]表示一个实数m的整数部分，例如：$[{\frac{2}{3}}]$=0，[3.14]=3．按此规定[${\sqrt{10}$+2]的值为5．

查看答案和解析>>

同步练习册答案

练习册

高中

初中

小学