Question

如图，在直角坐标系中，以点P（1，-1）为圆心，2为半径作圆，交x轴于A、B两点，抛物线y=ax²+bx+c（a＞0）过点A、B，且顶点C在⊙P上．
（1）求⊙P上劣弧AB的长；
（2）求抛物线的解析式；
（3）在抛物线上是否存在一点D，使线段OC与PD互相平分？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）求劣弧AB的长，就要先知道劣弧AB所对的圆心角的度数．过P作AB的垂线设垂足为M，那么在Rt△PMB中，根据圆的半径及P点的纵坐标即可求出∠BPM的度数，也就能求出∠APB的度数．然后根据弧长公式即可求出劣弧AB的长；
（2）在Rt△PMB中，根据PB即半径的长以及PM即P点纵坐标的绝对值即可求出BM的长，也就求出了AB的值，由于A、B两点关于直线x=1对称，由此可确定A、B两点的坐标．根据圆和抛物线的对称性，C点必在直线PM上，根据P点的坐标和圆的半径的长即可得出C点的坐标．根据求出的A、B、C三点的坐标，可用待定系数法求出抛物线的解析式；
（3）根据平行四边形的判定和性质可知：当线段OC与PD互相平分时，四边形OPCD是平行四边形，因此D点在y轴上，且OD=PC=2，因此D点的坐标为（0，-2）然后代入抛物线的解析式中即可判断出D是否在抛物线上．

解答：解：（1）如图，连接PB，过P作PM⊥x轴，垂足为M，
在Rt△PMB中，PB=2，PM=1，
∴∠MPB=60°，
∴∠APB=120°

AB

的长=

120°

180°

•π•2=

4π

3

；

（2）在Rt△PMB中，PB=2，PM=1，则MB=MA=

3

，又OM=1，
∴A（1-

3

，0），B（1+

3

，0），
由抛物线及圆的对称性得知点C在直线PM上，
则C（1，-3）．
点A、B、C在抛物线上，则

0=a(1+ 3 )2+b(1+ 3 )+c 0=a(1- 3 )2+b(1- 3 )+c -3=a+b+c

解之得

a=1 b=-2 c=-2

，
∴抛物线解析式为y=x²-2x-2；

（3）假设存在点D，使OC与PD互相平分，则四边形OPCD为平行四边形，且PC∥OD，
又PC∥y轴，
∴点D在y轴上，
∴OD=2，即D（0，-2），
又点D（0，-2）在抛物线y=x²-2x-2上，
故存在点D（0，-2），使线段OC与PD互相平分．

点评：本题着重考查了待定系数法求二次函数解析式、弧长计算公式、平行四边形的判定和性质等知识点，综合性强，考查学生数形结合的数学思想方法．