Question

【题目】如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交AC边于点D，过点C作CP∥AB，在CP上截取CF=CD，连接BF．

(1)求证：直线BF是⊙O的切线；

(2)若AB=5，BC=，求线段CD和BF的长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析（2）4

【解析】试题分析：（1）连接BD，由AB是直径可得∠BDC=90°，通过证明△BCD≌△BCF，从而得证∠BDC=∠BFC=90°，再根据CP∥AB，从而得∠ABC=90°，即可证明BF是⊙O的切线；

（2）设CD=x，则AD=5－x， 根据勾股定理， ，即可求得x值，从而求得BD值，再根据全等三角形的对应边相等即可得.

试题解析：(1)连接BD，

∵ AB是直径，∴∠ADB=90°，∴∠BDC=90°，

∵AB=AC，∴∠ABC =∠ACB，

∵CP∥AB，∴∠ABC =∠BCF，∴ ∠ACB=∠BCF ，

由CF=CD，BC=BC，∴△BCD≌△BCF，∴∠BDC=∠BFC=90°，

∵CP∥AB，∴∠ABC=90°，

∴BF是⊙O的切线；

（2）设CD=x，则AD=5－x，

根据勾股定理， ，

即，解得x＝2，

∴CD=2，BD=4 ，

由（1）知△BCD≌△BCF ，∴BD=BF=4.