如图.在Rt△ABC中.∠ACB=90°.AC=8cm.AB=10cm．点P从点A出发.以5cm/s的速度从点A运动到终点B,同时.点Q从点C出发.以3cm/s的速度从点C运动到终点B.连结PQ,过点P作PD⊥AC交AC于点D.将△APD沿PD翻折得到△A′PD.以A′P和PB为邻边作?A′PBE.A′E交射线BC于点F.交射线PQ于点G．设?A′PBE与四边形PDCQ重叠部分图形� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8cm，AB=10cm．点P从点A出发，以5cm/s的速度从点A运动到终点B；同时，点Q从点C出发，以3cm/s的速度从点C运动到终点B，连结PQ；过点P作PD⊥AC交AC于点D，将△APD沿PD翻折得到△A′PD，以A′P和PB为邻边作?A′PBE，A′E交射线BC于点F，交射线PQ于点G．设?A′PBE与四边形PDCQ重叠部分图形的面积为Scm²，点P的运动时间为ts．
（1）当t为何值时，点A′与点C重合；
（2）用含t的代数式表示QF的长；
（3）求S与t的函数关系式；
（4）请直接写出当射线PQ将?A′PBE分成的两部分图形的面积之比是1：3时t的值．

考点：相似形综合题,解一元一次不等式组,等腰三角形的判定与性质,勾股定理,平行四边形的性质,相似三角形的判定与性质

专题：压轴题

分析：（1）易证△ADP∽△ACB，从而可得AD=4t，由折叠可得AA′=2AD=8t，由点A′与点C重合可得8t=8，从而可以求出t的值．
（2）根据点F的位置不同，可分点F在BQ上（不包括点B）、在CQ上（不包括点Q）、在BC的延长线上三种情况进行讨论，就可解决问题．
（3）根据点F的位置不同，可分点F在BQ上（不包括点B）、在CQ上（不包括点Q）、在BC的延长线上三种情况进行讨论，就可解决问题．
（4）可分①S_△A′PG：S_{四边形PBEG}=1：3，如图7，②S_△BPN：S_{四边形PNEA′}=1：3，如图8，两种情况进行讨论，就可解决问题．

解答：解：（1）如图1，

由题可得：PA′=PA=5t，CQ=3t，AD=A′D．
∵∠ACB=90°，AC=8，AB=10，∴BC=6．
∵∠ADP=∠ACB=90°，
∴PD∥BC．
∴△ADP∽△ACB．
∴

．
∴

．
∴AD=4t，PD=3t．
∴AA′=2AD=8t．
当点A′与点C重合时，AA′=AC．
∴8t=8．
∴t=1．

（2）①当点F在线段BQ上（不包括点B）时，如图1，

则有CQ≤CF＜CB．
∵四边形A′PBE是平行四边形，
∴A′E∥BP．
∴△CA′F∽△CAB．
∴

CA′

．
∴

8-8t

．
∴CF=6-6t．
∴3t≤6-6t＜6．
∴0＜t≤

．
此时QF=CF-CQ=6-6t-3t=6-9t．
②当点F在线段CQ上（不包括点Q）时，如图2，

则有0≤CF＜CQ．
∵CF=6-6t，CQ=3t，
∴0≤6-6t＜3t．
∴

＜t≤1．
此时QF=CQ-CF=3t-（6-6t）=9t-6．
③当点F在线段BC的延长线上时，如图3，

则有AA′＞AC，且AP＜AB．
∴8t＞8，且5t＜10．
∴1＜t＜2．
同理可得：CF=6t-6．
此时QF=QC+CF=3t+6t-6=9t-6．
综上所述：当0＜t≤

时，QF=6-9t；当

＜t＜2时，QF=9t-6．

（3）①当0＜t≤

时，
过点 A′作A′M⊥PG，垂足为M，如图4，

则有A′M=CQ=3t．
∵

10-5t

2-t

，

6-3t

2-t

，
∴

，
∵∠PBQ=∠ABC，
∴△BPQ∽△BAC．
∴∠BQP=∠BCA．
∴PQ∥AC．
∵AP∥A′G．
∴四边形APGA′是平行四边形．
∴PG=AA′=8t．
∴S=S_△A′PG=

PG•A′M
=

×8t×3t=12t²．
②当

＜t≤1时，
过点 A′作A′M⊥PG，垂足为M，如图5，

则有A′M=QC=3t，PQ=DC=8-4t，PG=AA′=8t，QG=PG-PQ=12t-8，QF=9t-6．
∴S=S_△A′PG-S_△GQF
=

PG•A′M-

QG•QF
=

×8t×3t-

×（12t-8）×（9t-6）
=-42t²+72t-24．
③当1＜t＜2时，如图6，

∵PQ∥AC，PA=PA′
∴∠BPQ=∠PAA′，∠QPA′=∠PA′A，∠PAA′=∠PA′A．
∴∠BPQ=∠QPA′．
∵∠PQB=∠PQS=90°，
∴∠PBQ=∠PSQ．
∴PB=PS．
∴BQ=SQ．
∴SQ=6-3t．
∴S=S_△PQS=

PQ•QS=

×（8-4t）×（6-3t）=6t²-24t+24．
综上所述：当0＜t≤

时，S=12t²；
当

＜t≤1时，S=-42t²+72t-24；
当1＜t＜2时，S=6t²-24t+24．

（4）①若S_△A′PG：S_{四边形PBEG}=1：3，
过点A′作A′M⊥PG，垂足为M，过点A′作A′T⊥PB，垂足为T，如图7，

则有A′M=PD=QC=3t，PG=AA′=8t．
∴S_△A′PG=

×8t×3t=12t²．
∵S_△APA′=

AP•A′T=

AA′•PD，
∴A′T=

AA′•PD

8t×3t

t．
∴S?PBEA′=PB•A′T=（10-5t）×

t=24t（2-t）．
∵S_△A′PG：S_{四边形PBEG}=1：3，
∴S_△A′PG=

×S_?PBEA′．
∴12t²=

×24t（2-t）．
∵t＞0，
∴t=

．
②若S_△BPN：S_{四边形PNEA′}=1：3，如图8，

同理可得：∠BPQ=∠A′PQ，BQ=6-3t，PQ=8-4t，S?PBEA′=24t（2-t）．
∵四边形PBEA′是平行四边形，
∴BE∥PA′．
∴∠BNP=∠NPA′．
∴∠BPN=∠BNP．
∴BP=BN．
∵∠BQP=∠BQN=90°，
∴PQ=NQ．
∴S_△BPN=

PN•BQ=PQ•BQ
=（8-4t）×（6-3t）．
∵S_△BPN：S_{四边形PNEA′}=1：3，
∴S_△BPN=

×S_?PBEA′．
∴（8-4t）×（6-3t）=

×24t（2-t）．
∵t＜2，
∴t=

．
综上所述：当射线PQ将?A′PBE分成的两部分图形的面积之比是1：3时，t的值为

秒或

秒．

点评：本题考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、平行四边形的性质、解一元一次不等式组、勾股定理等知识，还考查了分类讨论的思想，有一定的综合性．

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