Question

【题目】如图1，AB是⊙O的直径，过⊙O上一点C作直线l，AD⊥l于点D．

（1）连接AC、BC，若∠DAC=∠BAC，求证:直线l是⊙O的切线；

（2）将图1的直线l向上平移，使得直线l与⊙O交于C、E两点，连接AC、AE、BE， 得到图2． 若∠DAC=45°，AD=2cm，CE=4cm，求图2中阴影部分(弓形)的面积．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）

【解析】

（1）连接OC， 由角平分线的定义和等腰三角形的性质，得，从而得l⊥OC，进而即可得到结论；

（2）由圆的内接四边形的性质和圆周角定理的推论，得△ABE是等腰直角三角形，通过勾股定理得的长，从而求出，连接OE，求出，进而即可求解．

（1） 连接OC，

∵，

∴，

∵∠DAC=∠BAC，

∴，

∵在Rt△ADC中∠DAC+∠ACD=90°，

∴，即直线l⊥OC，

∴直线l是⊙O的切线；

（2）∵ 四边形ACEB内接于圆，

∴ ，

又∵直径AB所对圆周角，

∴△ADC与△ABE都是等腰直角三角形，

∴，

∴，

∵，

连接OE，则，

∴，

∴图中阴影部分面积=．