[探究发现]如图1.△ABC是等边三角形.∠AEF=60°.EF交等边三角形外角平分线CF所在的直线于点F.当点E是BC的中点时.有AE=EF成立,[数学思考]某数学兴趣小组在探究AE.EF的关系时.运用“从特殊到一般的数学思想.通过验证得出如下结论:当点E是直线BC上任意一点时.结论AE=EF仍然成立．假如你是该兴趣小组中的一员.请你从“点E是线段BC上的任� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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【探究发现】如图1，△ABC是等边三角形，∠AEF=60°，EF交等边三角形外角平分线CF所在的直线于点F，当点E是BC的中点时，有AE=EF成立；
【数学思考】某数学兴趣小组在探究AE、EF的关系时，运用“从特殊到一般”的数学思想，通过验证得出如下结论：
当点E是直线BC上（B，C除外）任意一点时（其它条件不变），结论AE=EF仍然成立．
假如你是该兴趣小组中的一员，请你从“点E是线段BC上的任意一点”；“点E是线段BC延长线上的任意一点”；“点E是线段BC反向延长线上的任意一点”三种情况中，任选一种情况，在备用图1中画出图形，并证明AE=EF．
【拓展应用】当点E在线段BC的延长线上时，若CE=BC，在备用图2中画出图形，并运用上述结论求出S_△ABC：S_△AEF的值．

考点：相似形综合题,全等三角形的判定与性质

专题：几何综合题,压轴题,探究型

分析：根据等边三角形的性质，可得AB=BC，∠B=∠ACB=60°，根据三角形外角的性质，可得∠AEC=∠B+∠GAE=60°+∠GAE，根据ASA，可得△AGE≌△ECF，根据全等三角形的性质，可得结论；
根据等边三角形的判定，可得△AEF是等边三角形，根据等边三角形相似，可得△ABC与△AEF的关系，根据等腰三角形的性质，可得AC与AH的关系，AC与AE的关系，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方，可得答案．

解答：证明：第一种情况：点E是线段BC上的任意一点，
可作三种辅助线：
方法一：如图1，在AB上截取AG，使AG=EC，连接EG，

∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC，∠B=∠ACB=60°．
∵AG=EC，
∴BG=BE，
∴△BEG是等边三角形，∠BGE=60°，
∴∠AGE=120°．
∵FC是外角的平分线，
∠ECF=120°=∠AGE．
∵∠AEC是△ABE的外角，
∴∠AEC=∠B+∠GAE=60°+∠GAE．
∵∠AEC=∠AEF+∠FEC=60°+∠FEC，
∴∠GAE=∠FEC．
在△AGE和△ECF中

∠GAE=∠CEF

AG=EC

∠AGE=∠ECF

，
∴△AGE≌△ECF（ASA），
∴AE=EF；
方法二：在CA上截取CG=CE，连结GE，证明类似方法一；
方法三：延长FC到G，使CG=CE，连结EG，
易证△CEG是等边三角形，
∴CE=EG，∠G=∠ACB=60°，∠CEG=∠AEF=60°，
∴∠CEG+∠CEF=∠AEF+∠CEF，
即∠GEF=∠AEC，
∴△GEF≌△CEA，
∴AE=EF．
第二种情况：点E是线段BC延长线上的任意一点
如图2，可作三种辅助线：
①在CF上截取CG=CE，连接GE
②延长AC到G，使CG=CE，连结EG；
③或延长BA到G，使BG=BE，连结EG．

第②种添加辅助线的方法证明如下：
证明：延长AC到G，使CG=CE，连结EG，
易证△CEG为等边三角形，
∴∠G=∠ECF=60°，EG=CE，
又∠AEG=∠CEG+∠AEC=60°+∠AEC，
∠CEF=∠AEF+∠AEC=60°+∠AEC，
∴∠AEG=∠CEF，
∴△AEG≌△FEC，
∴AE=EF．

第三种情况：点E是线段BC反向延长线上的任意一点
如图3，可作三种辅助线：
①延长AB到G，使BG=BE，连结EG；
②延长CF到G，使CG=CE，连结EG；
③在CE上截取CG=CF，连结GF

现就第①种添加辅助线的方法证明如下：
证明：延长AB到G，使BG=BE，连结EG，
易证△BEG为等边三角形，
∴∠G=∠ECF=60°，
∵∠AEB+∠BAE=∠ABC=60°，∠AEB+∠CEF=∠AEF=60°，
∴∠BAE=∠CEF，
∵AB=BC，BG=BE，
∴AB+BG=BC+BE，
即AG=CE，
∴△AEG≌△EFC，
∴AE=EF．

拓展应用：
如图4：作CH⊥AE于H点，

∴∠AHC=90°．
由数学思考得AE=EF，
又∵∠AEF=60°，
∴△AEF是等边三角形，
∴△ABC∽△AEF．
∵CE=BC=AC，△ABC是等边三角形，
∴∠CAH=30°，AH=EH．
∴CH=

AC，AH=

AC，AE=

AC，
∴

．
∴

S△ABC

S△AEF

)2=(

)2=

．

点评：本题考查了相似形综合题，利用了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，构造全等三角形是解题关键，题目稍有难度．

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