Question

如图，抛物线y=x²-2x-3与x轴交A、B两点（A点在B点左侧），与y轴交于点D．
（1）求点A、B、D的坐标；
（2）若点C在该抛物线上，使△ABD≌△BAC．求点C的坐标，及直线AC的函数表达式；
（3）P是（2）中线段AC上的一个动点，过P点作y轴的平行线交抛物线于E点，求线段PE长度的最大值．

Answer 1

分析：（1）抛物线的解析式中，令y=0，可求得A、B的坐标，令x=0，可求得点D的坐标．
（2）若△ABD≌△BAC，则C、D必关于抛物线的对称轴对此，由此可得C点的坐标；进而可利用待定系数法求得直线AC的函数解析式．
（3）设出点P的横坐标，根据直线AC和抛物线的解析式，即可表示出P、E的纵坐标，从而得到关于PE的长和P点横坐标的函数关系式，根据所得函数的性质即可得到PE的最大长度及对应的P点坐标．

解答：解：（1）令y=0，
解得x₁=-1或x₂=3，（1分）
∴A的坐标为：A（-1，0），B的坐标为：B（3，0），（2分）
令x=0，解得y=-3；
∴D的坐标为：D（0，-3）．（3分）

（2）根据抛物线的对称性可得C的坐标为：（2，-3），（5分）
设AC的解析式为：y=kx+b，
将A（-1，0），C（2，-3）代入可求得k=-1，b=-1；
∴直线AC的函数解析式是y=-x-1．（8分）

（3）设P点的横坐标为x（-1≤x≤2），（注：x的范围不写不扣分）
则P、E的坐标分别为：P（x，-x-1），（9分）
E（x，x²-2x-3）；（10分）
∵P点在E点的上方，PE=-x-1-（x²-2x-3）=-x²+x+2=-（x-

1

2

）²+

9

4

；（12分）
∴当x=

1

2

时，PE的最大值=

9

4

．（14分）

点评：此题主要考查了二次函数图象与坐标轴交点坐标的求法、用待定系数法确定函数解析式的方法以及二次函数最值的应用等知识，难度适中．