Question

【题目】如图，已知二次函数的图象经过点A（4，4）、B（5，0）和原点O．P为二次函数图象上的一个动点，过点P作x轴的垂线，垂足为D（m，0），并与直线OA交于点C．

（1）求出二次函数的解析式；

（2）当点P在直线OA的上方时，求线段PC的最大值；

（3）当m＞0时，探索是否存在点P，使得△PCO为等腰三角形，如果存在，求出P的坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+5x；（2）当点P在直线OA的上方时，线段PC的最大值是4；（3）存在，P的坐标是（4﹣，2+3）或（4+，2﹣3）或（6，﹣6）或（5，0）．

【解析】

（1）设y＝ax（x﹣5），把A点坐标代入即可求出答案；

（2）根据点的坐标求出PC＝﹣m2+4m，化成顶点式即可求出线段PC的最大值；

（3）当0＜m＜4时，仅有OC＝PC，列出方程，求出方程的解即可；当m≥4时，PC＝CD﹣PD＝m2﹣4m，OC＝m，分为三种情况：①当OC＝PC时，m2﹣4m＝m，求出方程的解即可得到P的坐标；同理可求：②当OC＝OP时，③当PC＝OP时，点P的坐标．综合上述即可得到答案．

解：（1）设y＝ax（x﹣5），

把A点坐标（4，4）代入得：4a（4﹣5）＝4，

解得a＝﹣1，

函数的解析式为y＝﹣x2+5x，

答：二次函数的解析式是y＝﹣x2+5x．

（2）解：0＜m＜4，PC＝PD﹣CD，

∵D（m，0），PD⊥x轴，P在y＝﹣x2+5x上，C在直线OA上，A（4，4），

∴P（m，﹣m2+5m），C（m，m）

∴PC＝PD﹣CD＝﹣m2+5m﹣m＝﹣m2+4m，

＝﹣（m﹣2）2+4，

∵a＝﹣1＜0，开口向下，

∴有最大值，

当D（2，0）时，PCmax＝4，

答：当点P在直线OA的上方时，线段PC的最大值是4．

（3）当0＜m＜4时，仅有OC＝PC，∴﹣m2+4m＝m，

解得m＝4﹣，

∴P（4﹣，2+3）；

当m≥4时，PC＝CD﹣PD＝m2﹣4m，OC＝m，

由勾股定理得：OP2＝OD2+DP2＝m2+m2（m﹣5）2，

①当OC＝PC时，m2﹣4m＝m，

解得：m＝4+或m＝0（舍去），

∴P（4+，2﹣3）；

②当OC＝OP时，（m）2＝m2+m2（m﹣5）2，

解得：m1＝6，m2＝4，

∵m＝4时，P和A重合，即P和C重合，不能组成△POC，

∴m＝4舍去，

∴P（6，﹣6）；

③当PC＝OP时，m2（m﹣4）2＝m2+m2（m﹣5）2，

解得：m＝5，

∴P（5，0），

答：存在，P的坐标是（4﹣，2+3）或（4+，2﹣3）或（6，﹣6）或（5，0）．