Question

如图，抛物线y=x²-2x+c与y轴交于点A（0，-3），与x轴交于B、C两点，且抛物线的对称轴方程为x=1．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求B、C两点的坐标；
（3）设点P为抛物线对称轴上第一象限内一点，若△PBC的面积为4，求点P的坐标；
（4）点M为抛物线上一动点，点N为抛物线的对称轴上一动点，当M、N、B、C为顶点的四边形是平行四边形时（BC为平行四边形的一条边），求此时点M的坐标．

Answer 1

解：（1）∵抛物线y=x²-2x+c与y轴交于点A（0，-3），
∴c=-3，
抛物线的解析式为y=x²-2x-3；

（2）∵y=x²-2x-3，
∴当y=0时，x²-2x-3=0，
解得x=-1或x=3，
∴B、C两点的坐标分别为（-1，0），（3，0）；

（3）设点P的坐标为（1，y），则y＞0．
∵B、C两点的坐标分别为（-1，0），（3，0），
∴BC=4，
∵S_△PBC=•BC•y=2y=4，
∴y=2，
∴点P的坐标为（1，2）；

（4）当以BC为边时，如图，
∵以M、N、B、C为顶点的四边形是平行四边形，
∴MN=BC=4，即M₁N=M₂N=4，
∴M₁的横坐标为5，M₂的横坐标为-3，
∵y=x²-2x-3，
∴当x=5时，y=25-10-3=12；
当x=-3时，y=9+6-3=12，
∴M点坐标为（-3，12）或（5，12）．
分析：（1）将点A（0，-3）代入y=x²-2x+c，运用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（2）对于y=x²-2x-3，令y=0，得x²-2x-3=0，解方程求出x的值，即可得到与x轴交点B、C的坐标；
（3）设点P的坐标为（1，y），由点P在第一象限，可知y＞0，根据B、C两点的坐标得出BC=4，由三角形的面积公式得到S_△PBC=•BC•y=2y=4，求出y的值，进而得到点P的坐标；
（4）当以BC为边时，根据平行四边形的性质得到MN=BC=4，则可确定点M的横坐标，然后代入抛物线解析式得到M的纵坐标．
点评：本题考查了二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有运用待定系数法求抛物线的解析式，二次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积求法，平行四边形的性质．综合性较强，难度中等．