考点:二次函数的性质
专题:
分析:①点A(x
1,y
1),B(x
2,y
2)在抛物线y=
x
2上,则有y
1=
x
12,y
2=
x
22,x
12=4y
1,x
22=4y
2 所以x
12x
22=16y
1y
2,有△AOC∽△ODB可得
=
,即-x
1x
2=y
1y
2,所以x
12x
22=-16x
1x
2,即x
2=
,所以点(x
1,x
2)在反比例函数y=-
的图象上;
②点A(x
1,y
1)在抛物线y=
x
2上,点(x
1,x
2)在反比例函数y=-
的图象上,交点就是点A,y=
x
2,y=-
可求得点A的坐标A(-4,4),代入y=
x
2上可求得点B坐标为(4,4),所以直线AB与y轴交于定点(0,4);
③若以AB为直径的圆与x轴相切,圆心必定在y轴上,由于A(-4,4),B(4,4).所以y
1+y
2=8.
解答:解:①作AC⊥X轴于C,BD⊥y轴于D
∵A(x
1,y
1),B(x
2,y
2)在抛物线y=
x
2上,
∴y
1=
x
12,y
2=
x
22,x
12=4y
1,x
22=4y
2 ,
∴x
12x
22=16y
1y
2,
∵∠AOB=90°
∴∠AOC+∠BOD=90°,
∵∠CAO+∠AOC=90°
∴∠BOD=∠CAO
∴△ACO∽△ODB
∴
=
,即-x
1x
2=y
1y
2,
∴x
12x
22=-16x
1x
2,即x
2=
,
∴点(x
1,x
2)在反比例函数y=-
的图象上;
②设直线与抛物线y轴左边的交点为(x
1,y
1),右边为(x
2,y
2),
∵∠AOB=90,
∴∠AOC+∠BOD=90°,
∵∠CAO+∠AOC=90°
∴∠BOD=∠CAO
∴△ACO∽△ODB
∴
=
,即-x
1x
2=y
1y
2,
∴x
12x
22=-16x
1x
2,
代入解得x
1x
2=0(舍去)或-16,
∵
根据韦达定理得x
1x
2=-4b
所以-4b=-16,
解得b=4,
所以直线AB的解析式为y=kx+4
即过定点(0,4)
③∵A(-4,4),B(4,4),
∴y
1=4,y
2=4
∴y
1+y
2=8.
故选:D.
点评:本题考查了二次函数与反比例函数的交点问题,以及三角形相似和圆的切线的性质和判定,有一定的难度.