【题目】在Rt△ABC中,∠A=90°,AB=AC=4,O是BC边上的点且⊙O与AB、AC都相切,切点分别为D、E.
(1)求⊙O的半径;
(2)如果F为上的一个动点(不与D、E),过点F作⊙O的切线分别与边AB、AC相交于G、H,连接OG、OH,有两个结论:①四边形BCHG的周长不变,②∠GOH的度数不变.已知这两个结论只有一个正确,找出正确的结论并证明;
(3)探究:在(2)的条件下,设BG=x,CH=y,试问y与x之间满足怎样的函数关系,写出你的探究过程并确定自变量x的取值范围,并说明当x=y时F点的位置.
【答案】(1)2;(2)②的结论正确,证明详见解析;(3)y=, 2≤x≤4,F为AO与圆的交点同时F是的中点.
【解析】
(1)连接OD、OE、OA;构造正方形和直角三角形,利用勾股定理和正方形的性质解答;
(2)连接OF、OG、OH;根据切线长定理和圆的半径相等,构造全等三角形,即△DOG≌△FOG,△FOH≌△EOH;得到相等的角∠DOG=∠FOG,∠FOH=∠EOH;进而得到∠GOH==45°;
(3)当x=y时,有AG=AH,根据平行线分线段成比例定理的逆定理,判定GH∥BC,根据切线性质,判断F为AO与圆的交点同时F是的中点.
(1)连接OD、OE、OA,
∵O是BC边上的点且⊙O与AB、AC都相切,
∴OD⊥AB,AC⊥OE,
又∵∠BAC=90°,且OD=OE,
∴四边形ADOE为正方形,
∴OE=AE,`
∴∠OAE=45°;
又∵∠C=45°,
∴OE=2,△OAC为等腰直角三角形,
AE=EC=AC=×4=2,即⊙O的半径是2;
(2)②的结论正确;理由如下:
连接OF、OG、OH,
由题意,GD、GF以及HF、HE与圆相切,
所以GD=GF,HE=HF,∠DOG=∠FOG,∠FOH=∠HOE,
而∠DOE=90°,所以可以得到∠GOH==45°.
(3)BG=x,CH=y,
易得:GF=GD=x﹣2,FH=HE=y﹣2,AG=4﹣x,AE=4﹣y,
所以GH=x+x﹣4,
由∠A=90°,可得GH2=AG2+AH2,代入上述各数值,
化简可得y=,由AG≥0,AE≥0,可得x≤4,y≤4,所以2≤x≤4,
当x=y时,有AG=AH,由于AB=AC所以可得GH与BC平行,连接AO,
设AO交GH于F',有∠OFH=90°,
所以F'为切点F,即F为AO与圆的交点同时F是的中点.
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【题目】如图,在中,,为的中点,以为直径的分别交,于点,两点,过点作于点.
(1)试判断与的位置关系,并说明理由.
(2)若,,则的长为__________.
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【题目】如图,已知△ABC,∠B=90゜,AB=3,BC=6,动点P、Q同时从点B出发,动点P沿BA以1个单位长度/秒的速度向点A移动,动点Q沿BC以2个单位长度/秒的速度向点C移动,运动时间为t秒.连接PQ,将△QBP绕点Q顺时针旋转90°得到△,设△与△ABC重合部分面积是S.
(1)求证:PQ∥AC;
(2)求S与t的函数关系式,并直接写出自变量t的取值范围.
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【题目】已知二次函数.
(1)求该函数的图象与x轴的交点坐标.
(2)已知A(-9,),B(1,),C(,)都在该函数的图象上,则,,的大小关系为:.
(3)把该函数的图象沿y轴向什么方向平移多少个单位长度后,与x轴只有一个公共点.
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【题目】图示为一座拱桥,当水面宽AB为12m时,桥洞顶部离水面的距离为2m.
(1)若图中的拱形呈抛物线形状,当水面下降1m后,水面宽为多少?
(2)若图中的拱形呈圆弧形状,当水面下降1m后,水面宽又为多少?
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【题目】已知,关于x的方程x2+2x-k=0有两个不相等的实数根.
(1)求k的取值范围;
(2)若x1,x2是这个方程的两个实数根,求的值;
(3)根据(2)的结果你能得出什么结论?
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【题目】如图,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=-2,与x轴的一个交点在(-3,0)和(-4,0)之间,其部分图象如图所示.则下列结论:①4a-b=0;②c<0;③-3a+c>0;④4a-2b>at2+bt(t为实数);⑤点,,是该抛物线上的点,则y1<y2<y3.其中正确结论的个数是( )
A.4B.3C.2D.1
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【题目】如图,射线MN表示一艘轮船的航行路线,从M到N的走向为南偏东30°,在M的南偏东60°方向上有一点A,A处到M处为100海里.
(1)求点A到航线MN的距离;
(2)在航线MN上有一点B,且∠MAB=15°,若轮船的速度为50海里/时,求轮船从M处到B处所用时间为多少小时?(结果保留根号)
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