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【题目】RtABC中,∠A90°,ABAC4OBC边上的点且OABAC都相切,切点分别为DE

1)求O的半径;

2)如果F上的一个动点(不与DE),过点FO的切线分别与边ABAC相交于GH,连接OGOH,有两个结论:四边形BCHG的周长不变,GOH的度数不变.已知这两个结论只有一个正确,找出正确的结论并证明;

3)探究:在(2)的条件下,设BGxCHy,试问yx之间满足怎样的函数关系,写出你的探究过程并确定自变量x的取值范围,并说明当xyF点的位置.

【答案】12;(2)②的结论正确,证明详见解析;(3y 2x4FAO与圆的交点同时F的中点.

【解析】

1)连接ODOEOA;构造正方形和直角三角形,利用勾股定理和正方形的性质解答;

2)连接OFOGOH;根据切线长定理和圆的半径相等,构造全等三角形,即△DOG≌△FOG,△FOH≌△EOH;得到相等的角∠DOG=∠FOG,∠FOH=∠EOH;进而得到∠GOH45°;

3)当xy时,有AGAH,根据平行线分线段成比例定理的逆定理,判定GHBC,根据切线性质,判断FAO与圆的交点同时F的中点.

1)连接ODOEOA

OBC边上的点且OABAC都相切,

ODABACOE

又∵∠BAC90°,且ODOE

∴四边形ADOE为正方形,

OEAE,`

∴∠OAE45°;

又∵∠C45°,

OE2,△OAC为等腰直角三角形,

AEECAC×42,即O的半径是2

2的结论正确;理由如下:

连接OFOGOH

由题意,GDGF以及HFHE与圆相切,

所以GDGFHEHF,∠DOG=∠FOG,∠FOH=∠HOE

而∠DOE90°,所以可以得到∠GOH45°.

3BGxCHy

易得:GFGDx2FHHEy2AG4xAE4y

所以GHx+x4

由∠A90°,可得GH2AG2+AH2,代入上述各数值,

化简可得y,由AG0AE0,可得x4y4,所以2x4

xy时,有AGAH,由于ABAC所以可得GHBC平行,连接AO

AOGHF',有∠OFH90°,

所以F'为切点F,即FAO与圆的交点同时F的中点.

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