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精英家教网如图,I为△ABC的内心,△ABC的外接圆O,O在BC上,AD、BE、CF都经过I点分别交⊙O于点D、E、F,EF交AB于点G,交AC于点H,IM⊥BC于M.则下列结论:①EF⊥AD;②AB+AC-BC=
2
AI;
③AD=
2
(IM+
1
2
BC);④S△BIC:S△EFI的值随A点位置变化而变化.其中正确的是(  )
A、①②④B、①②
C、①②③D、③④
分析:根据内心的定义得到∠ABE=∠CBE,∠ACF=∠BCF,∠BAD=∠CAD,求出∠EAD+∠AEF=90°即可判断①;求出三角形内切圆的半径是
1
2
(AC+AB-BC),根据勾股定理求出AI=
2
IH即可判断②;求出AD=AI+ID=
2
2
(AC+AB),求出
2
(IM+
1
2
BC)=
2
2
(AC+AB),即可判断③;根据相似三角形的性质即可判断④.
解答:解:∵I为△ABC的内心,
∴∠ABE=∠CBE,∠ACF=∠BCF,∠BAD=∠CAD,
∴弧AE+弧AF+弧CD=180°,
∴∠AGF=∠EAD+∠AEF=90°,∴①正确;
∵O在BC上,
∴∠BAC=90°,
∵I是△ABC的内心,
∴CM=BM,CQ=CM,BM=BH,
∴∠IQA=∠CAB=∠IHA=90°,IQ=IH,
∴四边形QIHA是正方形,精英家教网
∴IQ=AQ=AI=IH,
∴AC-IH+AB-IH=BC,
∴IH=
1
2
(AC+AB-BC),
由勾股定理得:AI=
2
IH,
∴②正确;
AD=AI+ID=
1
2
(AC+AB-BC)+
2
2
BC,
=
2
2
AC+
2
2
AB,
2
(IM+
1
2
BC)=
2
[
1
2
(AC+AB-BC)+
1
2
BC]=
2
2
AC+
2
2
AB,
∴③正确;
∵∠F=∠EBC,∠FEI=∠ICM,
∴△EFI∽△CBI,
S△BIC
S△EIF
=(
BC
EF
)
2

∵BC一定,
∴④错误;
故选C.
点评:本题主要考查对三角形的内切圆与内心,三角形的外角性质,相似三角形的性质,圆周角定理,切线长定理,正方形的性质和判定等知识点的理解和掌握,综合运用这些性质进行推理是解此题的关键.
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6、如图,⊙O为△ABC的外接圆,BC为直径,AC=AB,则∠D的度数为(  )

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25、如图,AD为△ABC的高,E为AC上一点,BE交AD于F,且有BF=AC,FD=CD,那么BE⊥AC吗?为什么?

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A、
4
5
B、
5
4
C、
3
4
D、
5
6

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5、如图,⊙O为△ABC的外接圆,且∠A=30°,AB=8cm,BC=5cm,则⊙O的半径=
5
cm,点O到AB的距离为
3
cm.

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A、7
B、14
4
9
C、
140
29
D、
420
29

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